Ch-1 数字系统与信息

计算机科学

数字逻辑设计

Ch-1 数字系统与信息

1. 数字系统

1.1 信号与表示

信息在物理层面通常由电压、磁场方向或电荷等物理量表示：

模拟信号 (Analog Signal)：取值在时间和数值上都是连续的（Continuous）；
数字信号 (Digital Signal)：取值是离散的（Discrete）：
- 异步 (Asynchronous)：时间上连续，但取值离散；
- 同步 (Synchronous)：时间和取值均是离散的，受时钟脉冲控制。

阈值区间与正逻辑

在物理电压表示中，HIGH 和 LOW 之间有一段阈值区间 (Threshold Region)，落在该区间的电平被称为浮动 (Floating) 或未定义状态。“宽进严出”的设计能提高电路的抗噪能力。通常采用正逻辑 (Positive Logic)，即规定 HIGH=1=True，LOW=0=False。

1.2 逻辑电路

逻辑系统 (Logic System) 根据是否具有 系统状态 (State present)，分为两类：

组合逻辑 (Combinational Logic)：无系统状态，输出完全取决于当前输入，只需要推导输出与输入间的函数关系即可 Output=Function(Input)；
时序逻辑 (Sequential Logic)：存在系统状态，状态的更新分为同步（在离散时间点更新）和异步（任意时间点更新）：
- 次态方程（State Equation）Next State=Function(Current State,Input)；
- 输出方程（Output Function）Output=Function(State,Input(optional))。

1.3 计算机系统

数字计算机：处理离散数值的通用系统，包含内存、控制单元、数据通路等。
嵌入式系统：作为其他产品不可或缺一部分的计算机（如微控制器、数字信号处理器）。需要通过模数转换器 (A-to-D) 和 数模转换器 (D-to-A) 与外部模拟信号进行交互。

2. 计数体制

2.1 常见进制

进制 (Radix/Base)：用于表示数字的符号集合及进位规则。常用的有二进制 (Binary)、八进制 (Octal)、十进制 (Decimal) 和十六进制 (Hexadecimal)。

数值可以通过多项式展开 (Power Series) 表示：

\[\begin{align}(N)_R=(A_{n-1}A_{n-2}\cdots A_1A_0.A_{-1}A_{-2}\cdots A_{-m+1}A_{-m})_R = \sum_{i=-m}^{n-1} A_i \cdot R^i\end{align}\]

2.2 进制转换

任意进制转十进制：按多项式权值展开相加。
十进制转任意进制：
- 整数部分：除基取余法（Repeated Division），余数逆序排列。
- 小数部分：乘基取整法（Repeated Multiplication），整数顺序排列。
二的幂次进制与二进制互转：八进制对应3位二进制，十六进制对应4位二进制。需要注意的是小数点后的部分如果位数不满需要补零。

Note

小数部分在进行“乘基取整”时，可能会出现无限循环（如十进制0.65转二进制会无限循环1001），此时必须根据指定的位数进行 截断 (Truncate) 或 舍入 (Rounding)。

3. 数据编码

\(n\) 个比特的二进制码可映射 \(2^n\) 个离散元素。表示 \(M\) 个元素的最小比特数 \(n = \lceil \log_2 M \rceil\)。

3.1 独冷码与独热码

独热码 (One-Hot Code)：比特串中仅有一位是 1（如 0001, 0010, 0100），改变状态的硬件成本低，容易检测非法状态，但信息表示率低，非法状态非常多但有效状态很少。与之对应的还有 独冷码 (One-Cold Code)，即比特串中仅有一位是 0。

3.2 BCD码

将十进制数字用二进制组合表示，称为二进制编码的十进制数 (Binary Coded Decimal)。

8421 码：最基础的带权码，四位二进制表示一位十进制位，权值依次为8,4,2,1：
- 在进行加法操作时，以四位一组的基本单元进行计算；
- 当两组相加的结果大于等于 10 时需要 +6 修正结果。
余三码 (Excess-3)：在 8421 码基础上加 3（即加上0011），具有对称自补特性，即将 +6 的修正均摊到编码本身上，十进制下要进位的两个数位，在余三码下也要组进位。
2421 码：与 8421 码类似但各位权重分别为 2,4,2,1，其特性是 \(x\) 和 \(9-x\) 的 2421 码互补，其中 \(x=0\sim4\) 时的 2421 码就是二进制， \(x=5\sim9\) 时为 \(9-x\text{ xor } 1111_{2}\) 。余三码是将空出的 6 位放在两端，而 2421 码则放在中间。

十进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
8421 码	\(0000\)	\(0001\)	\(0010\)	\(0011\)	\(0100\)	\(0101\)	\(0110\)	\(0111\)	\(1000\)	\(1001\)
余三码	\(0011\)	\(0100\)	\(0101\)	\(0110\)	\(0111\)	\(1000\)	\(1001\)	\(1010\)	\(1011\)	\(1100\)
2421 码	\(0000\)	\(0001\)	\(0010\)	\(0011\)	\(0100\)	\(1011\)	\(1100\)	\(1101\)	\(1110\)	\(1111\)

切勿混淆转换与编码！

转换 (Conversion) 是将数值的进制改变，如 \(13_{10} = 1101_2\)；
编码 (Coding) 是用二进制符号表示各数位，如 13 的BCD码为 \(0001\ 0011\)。

3.3 字符编码

ASCII码：美国信息交换标准代码，使用7位二进制表示128个字符：

数字 0~9 的十六进制码为 \(30_{16} \sim 39_{16}\)。
字母大小写转换只需翻转第6个比特位。
DEL 控制符全为1，源于早年纸带打孔用于覆盖擦除错误的机制。

Unicode：ASCII的扩展，使用16位 (2 Byte) 代码字，可编码全球几乎所有语言。

3.4 格雷码

格雷码 (Gray Code) 是一种可靠性编码 (Reliable Code)，其核心特性是相邻的两个数值对应的编码之间，只有 1 个比特位发生翻转。数字 \(x\) 对应的格雷码为：

\[ x\text{ xor }(x\text{>>}1) \]

格雷码还可以通过递归构造，假设已知 \(n-1\) 位的格雷码的顺序集合为 \(S\) , 则有 \(n\) 为的格雷码顺序集合为：\(0S+\text{rev}(1S)\) ，例如由 2 位格雷码推导 3 位格雷码：

\[ \begin{align} &S_{2}=\{00,01,11,10\}\\ &0S_2=\{000,001,011,010\},\space1S_2=\{100,101,111,110\}\\ &S_3=0S_2+\text{rev}(1S_2)=\{000,001,011,010,110,111,101,110\} \end{align} \]

3.5 奇偶校验

通过引入冗余 (Redundancy) 比特来检测传输错误，称为错误检测码 (Error-Detection Codes)。奇偶校验能够检测出所有单比特错误 (Single-bit errors)。

偶校验 (Even Parity)：附加1个校验位后，整个代码字中“1”的数量为偶数；
奇校验 (Odd Parity)：附加1个校验位后，整个代码字中“1”的数量为奇数。

Ch-2 组合逻辑电路