Appendix 易错点

Appendix 易错点

导函数在 \(x_0\) 两侧的不同单调性确保了 \(f(x_0)\) 取到极值是充分条件而非必要条件

例如 \(f(x)=\begin{cases}x^2(1+\sin^2(\dfrac{1}{x})),&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\)

函数可导一定连续，函数连续不一定可导

原函数不可能有第一类间断点

利用导数的定义研究函数在一点的可导性时，要满足以下三个条件：

\(\begin{aligned}\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\end{aligned}\) 中 \(\Delta x\) 的替换项必须与 \(\Delta x\) 是同阶无穷小

\(\Delta x\rightarrow 0\) 必须从左右两侧趋于 \(0\)

\(\begin{aligned}\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\end{aligned}\) 的分子上一定要有 \(f(x_0)\) 这个元素

若 \(f(x)\) 为周期函数，其原函数 \(F(x)\) 不一定为周期函数

若 \(f(x)\) 为可导的周期函数，则 \(f'(x)\) 一定为周期函数

\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界是函数可积的必要条件，无界函数一定不可积