Ch-1 数列极限

数列极限定义

设 \(\{a_n\}\) 是 \(\mathrm{R}\) 中的一个数列，如果存在 \(a\in\mathrm{R}\) 使得 \(\forall \varepsilon>0,\exists N\in\mathrm{N_+}\) ，当 \(n\geq N\) 时，都有 \(|a_n-a|<\varepsilon\) ，就称数列 \(\{a_n\}\) 是收敛于 \(a\) 的，记为 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\end{aligned}\) ,称 \(a\) 是数列 \(\{a_n\}\) 的极限

数列极限性质

唯一性 如果数列 \(\{a_n\}\) 收敛，那么其极限是唯一的

有界性 如果数列 \(\{a_n\}\) 收敛，那么 \(\{a_n\}\) 是有界的，即 \(\exists M>0,\forall n\in\mathrm{N_+},|a_n|\leq M\)

保号性 如果 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a>0\end{aligned}\) 那么 \(\forall p\in(0,a),\exists N>0\) 当 \(n\geq N\) 时 \(a_n>p>0\)

夹逼定理

设数列 \(\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\) 满足当 \(n\geq N_0\in\mathrm{N}_+\) 时，有 \(b_n\leq a_n\leq c_n\) 并且 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow\infty}c_n=a\end{aligned}\) ，则数列 \(\{a_n\}\) 也是收敛的，且 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\end{aligned}\)

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

设 \(\{a_n\}\) 是 \(\mathrm{R}\) 中的一个有界数列，则数列 \(\{a_n\}\) 中存在收敛的子列

柯西准则

设 \(a_n\) 是 \(\mathrm{R}\) 中的一个数列，若对于任意 \(\varepsilon>0\) ，存在正整数 \(N\) ，当 \(m,n\geq N\) 时， \(|a_m-a_n|<\varepsilon\) 则称 \(\{a_n\}\) 是柯西数列，\(\{a_n\}\) 收敛当且仅当 \(\{a_n\}\) 是柯西数列

施托尔茨第一公式

给定数列 \(\{x_n\},\{y_n\}\) ，若 \(\{x_n\}\) 单调增加，且 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow+\infty}x_n=+\infty\end{aligned}\) ,

若 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}=a\end{aligned}\) ，那么有 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{y_n}{x_n}=a\end{aligned}\) ，其中 \(a\) 可以是实数也可以是 \(\pm\infty\)

施托尔茨第二公式

给定数列 \(\{x_n\},\{y_n\}\) ，若\(\{x_n\}\) 单调减少，且 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}y_n=0\end{aligned}\) ，

若\(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}=a\end{aligned}\) ，那么有 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{y_n}{x_n}=a\end{aligned}\) ，其中 \(a\) 可以是实数也可以是 \(\pm\infty\)