Ch-2 函数的极限与连续性
函数极限
设 \(f:D\rightarrow\mathrm{R}\) ，\(D\) 是 \(\mathrm{R}\) 的子集并且包含 \(x_0\) 的某去心邻域，如果存在 \(A\in\mathrm{R}\) ，使得对于任意的 \(\varepsilon>0,\exists \delta>0\) ，当 \(x\in \mathring{U}(x_0,\delta)\cap D\) 时，有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\) ，就称 \(x\) 趋于 \(x_0\) 时，\(f(x)\) 趋于 \(A\) ，记为 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\end{aligned}\)
归结原理
设 \(f:D\subset\mathrm{R}\rightarrow\mathrm{R},\exists\mathring{U}(x_0)\subset D\) ，则 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\end{aligned}\) 的充要条件为：对于任意满足 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0,x_n\neq x_0,n=1,2,3,\cdots\end{aligned}\) 的数列 \(\{x_n\}\) ，其对应的函数值数列 \(\{f(x_n)\}\) 均有 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=A\end{aligned}\)
函数极限性质
唯一性 若函数在某点有极限，则极限是唯一的
局部有界性 设 \(\begin{aligned}f:D\subset\mathrm{R}\rightarrow\mathrm{R},\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\end{aligned}\) 存在，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某去心邻域内有界，即 \(\exists M>0,\delta>0\) 当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时， \(|f(x)|<M\)
局部保号性 如果 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A>0\end{aligned}\) ，那么 \(\forall p\in(0,A),\exists\delta>0,\forall x\in\mathring{U}(x_0,\delta),f(x)>p>0\)
夹逼定理
设 \(f,g,h:D\subset\mathrm{R}\rightarrow\mathrm{R}\) ，\(D\) 包含 \(x_0\) 的某去心邻域 \(\mathring{U}(x_0,\delta)\) ，如果 \(\forall x\in\mathring{U}(x,\delta)\) ，有 \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\) ，且满足 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}h(x)=A\end{aligned}\) 那么有 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\end{aligned}\)
单侧极限
\(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=A\Leftrightarrow\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=A\end{aligned}\)
函数连续与间断点
设 \(f:D\subset\mathrm{R}\rightarrow\mathrm{R}\) ，\(D\) 包含 \(x_0\) 的某个邻域，若 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\end{aligned}\) 则称 \(f\) 在 \(x_0\) 处连续
第一类间断点 左极限 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\end{aligned}\) 和右极限 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)\end{aligned}\) 都存在但 \(f\) 在 \(x_0\) 处不连续
跳跃间断点 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)\end{aligned}\)
可去间断点 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\neq f(x_0)\end{aligned}\) 或 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处没有定义
第二类间断点 如果 \(f\) 在 \(x_0\) 处的左右极限至少有一个不存在
函数一致连续
设函数 \(f:I\rightarrow\mathrm{R}\) ，如果 \(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\) ，使得 \(\forall x_1,x_2\in I\) ，当 \(|x_1,x_2|<\delta\) 时，都有 \(|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\) ，就称函数 \(f\) 在区间 \(I\) 上一致连续
康托尔定理
设函数 \(f(x)\) 在有限闭区间 \([a,b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致连续
无穷小
设 \(f(x),g(x)\) 是当 \(x\rightarrow x_0\) 时的无穷小，且 \(g(x)\neq0\)
- 若 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\end{aligned}\) ，则称 \(f(x)\) 是比 \(g(x)\) 高阶的无穷小，记为 \(f(x)=o(g(x))\)
- 若 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\end{aligned}\) ，则称 \(g(x)\) 是比 \(f(x)\) 低阶的无穷小，记为 \(f(x)=o(g(x))\)
- 若 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=A\neq0\end{aligned}\) ，则称 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是同阶无穷小，记为 \(f(x)=O(g(x))\)
- 若 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1\end{aligned}\) ，则称 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是等价无穷小，记为 \(f(x)\sim g(x)\)
无穷大
设 \(f(x),g(x)\) 是当 \(x\rightarrow x_0\) 时的无穷大
- 若 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\end{aligned}\) ，则称 \(f(x)\) 是比 \(g(x)\) 低阶的无穷大（增长更慢 ）
- 若 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\end{aligned}\) ，则称 \(g(x)\) 是比 \(f(x)\) 高阶的无穷大（增长更快）
- 若 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=A\neq0\end{aligned}\) ，则称 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是同阶无穷大
- 若 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1\end{aligned}\) ，则称 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是等价无穷大
等价无穷小替换
设 \(f,g,\alpha,\beta\) 当 \(x\rightarrow x_0\) 时是无穷小，且 \(f\sim\alpha,g\sim\beta\) ，如果 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\end{aligned}\) 存在，
那么有 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\end{aligned}\)
有限闭区间上连续函数的性质
有界性、最大值最小值定理、零点存在定理、介值定理、不动点