Ch-3 导数与微分

导数定义

设函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，如果极限 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\end{aligned}\) 存在，就称 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导，\(x_0\) 是 \(f\) 的可导点，极限值为 \(f\) 在 \(x_0\) 处的导数，记为 \(f'(x_0)\)

单侧导数

若函数 \(f\) 在 \(x_0\) 的某个邻域有定义，则 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导当且仅当 \(f\) 在 \(x_0\) 处分别左右导数相等

反函数求导

函数 \(y=f(x)\) 在 \(U(x_0)\) 严格单调，在 \(x_0\) 可导且 \(f'(x_0)\neq0,y_0=f(x_0)\), \(g:U(y_0)\rightarrow U(x_0)\) 为 \(y=f(x)\) 的反函数，则函数 \(g\) 在 \(y_0\) 处可导，且 \(g'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}\)

由 \(y_0=f(x_0)\) 有 \(g'(f(x_0))=\dfrac{1}{f'(x_0)}\) ，即 \(g'(x)=\dfrac{1}{f'(g(x))}\)

参数方程的导数

对于参数方程 \(\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}\) 有 \(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\varphi'(t)，\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\psi'(t)\) 则 \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\)

参数方程的导数可以表示为 \(\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\end{cases}\) 或 \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\bigg|_{t=\varphi^{-1}(x)}\)

莱布尼茨公式

若函数 \(u,v\) 均 \(n\) 阶可导，则乘积函数 \(uv\) 也 \(n\) 阶可导

\(\begin{aligned}(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}u^{(n-k)}v^{(k)}\end{aligned}\)

微分定义

设 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 某个邻域内有定义， \(\Delta x\) 是自变量的一个改变量，如果存在不依赖于 \(\Delta x\) 的常数 \(A\) ，使得当 \(|\Delta x|\) 充分小时，函数的增量

\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x),\Delta x\rightarrow 0\)

那么称 \(f\) 在 \(x_0\) 处可微，称 \(A\Delta x\) 为 \(f\) 在 \(x_0\) 处的微分，记为 \(\mathrm{d}y|_{x=x_0}=A\Delta{x}\)

近似估计与误差分析

\(f(x_0+\Delta{x})\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x\)

在测量某个值 \(x^*\) 时得到的 \(x\) 是近似值，程 \(|x-x^*|\) 为绝对误差， \(\dfrac{|x-x^*|}{|x|}\) 为相对误差

如果存在 \(\delta_x>0\) 使 \(|x-x^*|\leq\delta_x\) ，则称 \(\delta_x\) 为绝对误差限，\(\dfrac{\delta_x}{|x|}\) 称为相对误差限