Ch-4 微分中值定理

函数极值

设函数 \(f\) 在 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，如果存在 \(\delta>0\) 使得对于任何 \(x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\) 恒有 \(f(x)\leq f(x_0)\) ,就称 \(f(x_0)\) 是函数 \(f\) 的一个极大值， \(x=x_0\) 为极大值点

费马定理

设 \(x_0\) 为函数 \(f\) 的极值点，如果 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导，则 \(f'(x_0)=0\)

罗尔定理

如果函数 \(f\) 满足在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 内可导，\(f(a)=f(b)\)

那么至少存在一点 \(\xi\in(a,b)\) 使得 \(f'(\xi)=0\)

拉格朗日中值定理

如果函数 \(f\) 满足在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 内可导

那么至少存在一点 \(\xi\in(a,b)\) 使得 \(f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

柯西中值定理

设函数 \(f,g\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导，且 \(g'\) 在 \((a,b)\) 内没有零点

则至少存在一点 \(\xi\in(a,b)\) ，使得 \(\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)

洛必达法则

形式1

函数 \(f\) 和 \(g\) 在 \(x_0\) 的某去心邻域 \(\mathring{U}(x_0)\) 内可导，且 \(g'\neq0\)

如果 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0\end{aligned}\) ，且极限 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\end{aligned}=A\) （或 \(\infty\) ）

那么有\(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\end{aligned}\)

形式2

函数 \(f\) 和 \(g\) 在 \(x_0\) 的某去心邻域 \(\mathring{U}(x_0)\) 内可导，且 \(g'\neq0\)

如果 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=\infty\end{aligned}\) ，且极限 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\end{aligned}=A\) （或 \(\infty\) ）

那么有\(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\end{aligned}\)

带佩亚诺余项的泰勒公式

\(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\)

带拉格朗日余项的泰勒公式

\(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)

极值第一判别法

如果 \(f\) 在 \(x_0\) 的某邻域内连续， \(f'\) 在 \(x_0\) 两侧异号，那么 \(x_0\) 必定是 \(f\) 的极值点

极值第二判别法

假设 \(f\) 在 \(x_0\) 的某邻域内连续，且在 \(x_0\) 处二阶可导，如果 \(f'(x_0)=0,f''(x_0)\neq0\)

则 \(x_0\) 必定是 \(f\) 的极值点

凹凸性判别法

设 \(f\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导

曲线 \(f\) 在 \([a,b]\) 上是凹的，当且仅当在 \((a,b)\) 内恒有 \(f''\geq0\)

曲线 \(f\) 在 \([a,b]\) 上是凸的，当且仅当在 \((a,b)\) 内恒有 \(f''\leq 0\)

渐近线

当 \(x\rightarrow x_0\) 时， \(f(x)\rightarrow\infty\) ，则直线 \(x=x_0\) 是 \(y=f(x)\) 的一条垂直渐近线

\(\begin{aligned}a=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x},b=\lim_{x\rightarrow+\infty}[f(x)-ax]\end{aligned}\)

若 \(a\neq0\) 则 \(y=ax+b\) 为曲线的斜渐近线，否则 \(y=b\) 为曲线的水平渐近线

曲率与曲率半径

\(\begin{aligned}K=\lim_{l\rightarrow0}\frac{\theta}{l}\end{aligned}\) 定义曲线在 \(P\) 点处的弯曲程度，称为曲率， \(R=\dfrac{1}{K}\) 为曲率半径

\(K(x)=\dfrac{|f''(x)|}{[1+(f'(x))^2]^{3/2}}\)

曲率圆和曲线 \(y=f(x)\) 在 \(P\) 点相切，在切点有相同的凹凸性和曲率

曲率圆圆心坐标为 \((\xi,\eta),\begin{cases}\xi=x-\dfrac{f'(x)[1+(f'(x))^2]}{f''(x)}\\\eta=f(x)+\dfrac{1+[f'(x)]^2}{f''(x)}\end{cases}\)

达布定理

设 \(f\) 在 \((a,b)\) 内可导， \(x_1,x_2\in(a,b)\) ，且 \(x_1<x_2\) ，则对于任何介于 \(f'(x_1)\) 和 \(f'(x_2)\) 的实数 \(\eta\) ，必存在 \(\xi\in(a,b)\) ，使得 \(\eta=f'(\xi)\)