第一换元积分法

设 \(f(u)\) 存在原函数 \(F(u),u=\varphi(x)\) 可导，则函数 \(f(\varphi(x))\varphi'(x)\) 也存在原函数

\[\begin{aligned}\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm{d}x=\int f(\varphi(x))\mathrm{d}\varphi(x)=\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C=F(\varphi(x))+C\end{aligned}\]

第二换元积分法

设 \(f(x)\) 连续，\(x=\varphi(t)\) 有连续导数，且 \(\varphi'(t)\neq0\) 如果 \(\begin{aligned}\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t=F(t)+C\end{aligned}\)

则 \(\begin{aligned}\int f(x)\mathrm{d}x=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t=F(t)+C=F(t)+C=F(\varphi^{-1}(t))+C\end{aligned}\)

分部积分法

\[\begin{aligned}\int u(x)v'(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\mathrm{d}x\end{aligned}\]

有理函数的不定积分

一切有理函数的原函数可以用有理函数、对数函数和反正切函数表示出来

三角有理函数的不定积分

设 \(t=\tan\dfrac{x}{2},|x|<\pi\) ，则 \(x=2\arctan{t}\) 有以下替换：

\[\begin{cases}\mathrm{d}x=\dfrac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t\\\sin x=\dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2\dfrac{x}{2}}=\dfrac{2t}{1+t^2}\\\cos x=\dfrac{1-\tan^2\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\end{cases}\]

则 \(\begin{aligned}\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x=\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\cdot\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t\end{aligned}\)

其它可有理化函数的不定积分

设 \(R\) 为有理函数，则以 \(\mathrm{e}^x\) 为变量的有理函数 \(R(\mathrm{e}^x)\) 的积分 \(\begin{aligned}\int R(\mathrm{e}^x)\mathrm{d}x\end{aligned}\)

可通过变量替换 \(x=\ln t\) 化成有理函数的积分 \(\begin{aligned}\int R(t)\frac{1}{t}\mathrm{d}t\end{aligned}\)