Ch-10 第二类曲线面积分
第二类曲线积分
设 \(\Gamma\) 是以 \(A,B\) 为端点的光滑曲线，并指定从 \(A\) 到 \(b\) 的方向为曲线方向，在 \(\Gamma\) 上每一点 \(M\) 处作曲线的单位切矢量
\[ e_{T}(M)=\cos\alpha\cdot i+\cos\beta\cdot j+\cos\gamma\cdot k \]设 \(A(M)=A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k\) 其中 \(P,Q,R\) 是定义在曲线 \(\Gamma\) 上的有界函数，则函数
\[ A\cdot e_T=P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma \]在曲线 \(\Gamma\) 上的第一类曲线积分
\[ \int_\Gamma A\cdot e_Tds=\int_\Gamma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)ds \]称为函数 \(A(P)=A(x,y,z)\) 沿曲线 \(\Gamma\) 从 \(A\) 到 \(B\) 的第二类曲线积分
性质1
\[ \int_{\Gamma_{AB}}(A\cdot e_T)ds=-\int_{\Gamma_{BA}}(A\cdot e_T)ds \]性质2 若有向曲线 \(\Gamma\) 是由有向曲线 \(\Gamma_1,\Gamma_2\) 首尾衔接而成，则
\[ \int_{\Gamma}(A\cdot e_T)ds=\int_{\Gamma_1}(A\cdot e_T)ds+\int_{\Gamma_2}(A\cdot e_T)ds \]第二类曲线积分计算
设光滑曲线 \(\Gamma_{AB}\) 方程为 \(\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}\) ，点 \(A\) 对应的参数为 \(t_A\) ，点 \(B\) 对应的参数为 \(t_B\) 且函数 \(A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\) 的分量 \(P,Q,R\) 在 \(\Gamma\) 上连续
\[ \begin{align} \int_{\Gamma_{AB}}A\cdot e_T ds &=\int_{\Gamma_{AB}}A\cdot ds\\ &=\int_{\Gamma_{AB}}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)ds\\ &=\int_{\Gamma_{AB}}Pdx+Qdy+Rdz\\ &=\int_{t_A}^{t_B}P(x(t),y(t),z(t))x'(t)dt+ \int_{t_A}^{t_B}Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)dt+\\ &\quad\int_{t_A}^{t_B}R(x(t),y(t),z(t))z'(t)dt\\ &=\int_{t_A}^{t_B}[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+ Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+\\ &\quad R(x(t),y(t),z(t))z'(t)]dt \end{align} \]格林公式
被积函数相同，起点和终点也相同，虽然路径不同，积分仍然相同
边界曲线 \(\Gamma\) 的正向规定为当人沿边界行走时，区域总在左侧 若函数 \(P,Q\) 在有界闭区域 \(D\subset R^2\) 上连续且具有一阶连续偏导数，则
\[ \iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy =\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy =\iint_{D} \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}\\P&Q \end{vmatrix}dxdy \]令 \(P=-y,Q=x\) 可以得到计算平面区域 \(S\) 的公式，若 \(\Gamma\) 是区域 \(D\) 边界曲线正向
\[ \oint_\Gamma-ydx+xdy=\iint_D[1-(-1)]dxdy=2S \]格林公式左侧是减号的原因是：沿 \(x\) 和 \(y\) 不同的顺序积分，顺逆时针不同 格林公式的形象解释
单连通区域
若平面区域 \(D\) 内任一封闭曲线，皆可不经过 \(D\) 以外的点而连续收敛于 \(D\) 中的一个点，即若 \(D\) 内任一封闭曲线所包围的区域均包含于 \(D\) 内，则这个”没有洞“的区域称为平面单连通区域，否则称为平面副连通区域
第二类曲线积分在满足一定的条件下，即满足 \(\begin{align}\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv\frac{\partial P}{\partial y}\end{align}\) 时，第二类曲线积分与积分路径无关
设 \(D\subset R^2\) 是平面单连通区域，若 \(P,Q\) 在 \(D\) 上连续，且有一阶连续偏导数，以下四个条件等价
- 沿 \(D\) 中任一按段光滑的闭曲线 \(L\) ，有 \(\begin{align}\oint_L Pdx+Qdy=0\end{align}\)
- 对 \(D\) 中任一按段光滑曲线 \(L\) ，曲线积分 \(\begin{align}\int_L Pdx+Qdy\end{align}\) 与路径无关，只与 \(L\) 的起点和终点有关
- \(Pdx+Qdy\) 是 \(D\) 内某一函数 \(u\) 的全微分，即在 \(D\) 内存在一个二元函数 \(u(x,y)\) 使 \(du=Pdx+Qdy\) ，即 \(\begin{align}\frac{\partial u}{\partial x}=P,\frac{\partial u}{\partial y}=Q\end{align}\)
- 在 \(D\) 内每一点处，有 \(\begin{align}\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\end{align}\)
牛顿-莱布尼茨公式
若第二类曲线积分 \(\begin{align}\int_{A(x_0,y_0)}^{B(x_0,y_0)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\end{align}\) 与路径无关，可用一元函数定积分表示
\[ \int_{A(x_0,y_0)}^{B(x_1,y_1)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy =\int_{x_0}^{x_1}P(x,y_0)dx +\int_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y)dy \]则 \(Pdx+Qdy\) 的全体原函数为
\[ u(x,y)=\int_{x_0}^xP(x,y_0)dx+\int_{y_0}^yQ(x,y)dy+C \]若 \((0,0)\in D\) 则可以把 \(Pdx+Qdy\) 的全体原函数写成
\[ \int_0^x P(x,0)dx+\int_0^yQ(x,y)dy+C \]可以证明，若 \(du(x,y)=Pdx+Qdy\) 其中 \(P,Q\) 具有连续偏导数，则有
\[ \int_{A(x_0,y_0)}^{B(x_1,y_1)}Pdx+Qdy =u(x,y)\Big|_{A(x_0,y_0)}^{B(x_1,y_1)} =u(x_1,y_1)-u(x_0,y_0) \]该公式称为曲面积分的牛顿-莱布尼茨公式
复连通区域
设在复连通区域 \(D\) 内，\(P,Q\) 具有连续的偏导数且 \(\begin{align}\frac{dP}{dy}\equiv\frac{dQ}{dx}\end{align}\) ，则环绕同一些洞的任何两条闭曲线（取同方向）上的曲线积分都相等，叫做环绕这个洞的循环常数
第二类曲面积分
设 \(S\) 是光滑有界的定侧曲面，记 \(S\) 上每一点 \(M(x,y,z)\) 处沿曲面定侧的单位法矢量为
\[ e_n(M)=\cos\alpha i+\cos\beta j+\cos\gamma k \]又设
\[ A(M)=A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,M(x,y,z)\in S \]其中 \(P,Q,R\) 是定义在 \(S\) 上的有界函数，则函数
\[ A\cdot e_n=P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma \]在 \(S\) 上的第一类曲面积分
\[ \iint_SA\cdot e_ndS=\iint_S(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS \]称为函数 \(A(P)=A(x,y,z)\) 沿定侧曲面 \(S\) 的第二类曲面积分 其中 \(e_ndS\) 称为有向面积元素，将它的三个投影分别记为
\[ \begin{cases} \cos\alpha dS=dydz\\ \cos\beta dS=dzdx\\ \cos\gamma dS=dxdy \end{cases} \]则第二类曲面积分可以写成如下形式
\[ \iint_S P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy \]第二类曲面积分的计算
当 \(0\leq\gamma\leq\pi\) 时，\(\cos\gamma=\mathrm{sgn}(\frac{\pi}{2}-\gamma)|\cos\gamma|\) ，于是有
\[ \begin{align} dxdy&=\cos\gamma dS=\mathrm{sgn}(\frac{\pi}{2}-\gamma)|\cos\gamma|dS\\ &=\mathrm{sgn}(\frac{\pi}{2}-\gamma)d\sigma \end{align} \]其中 \(d\sigma\) 是 \(dS\) 在 \(Oxy\) 平面上投影区域的面积
\[ \begin{align} \iint_S R(x,y,z)dxdy&=\iint_SR(x,y,z)\cos\gamma dS\\ &=\iint_{\sigma_{xy}}R(x,y,z(x,y))\mathrm{sgn}(\frac{\pi}{2}-\gamma)d\sigma\\ &=\mathrm{sgn}(\frac{\pi}{2}-\gamma)\iint_{\sigma_{xy}}R(x,y,z(x,y))d\sigma \end{align} \]将分别在三个坐标面投影处理的积分转化为只需要向同一个坐标面投影的积分
\[ \iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\iint(-z_xP-z_yQ+R)dxdy \]若曲线 \(S\) 由单一方程 \(F=(x,y,z)\) 给出，也可以考虑将积分转换为第一类曲面积分
\[ I=\iint_S\{P,Q,R\}\cdot ndS,\quad n=\{F_x,F_y,F_z\}/\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2} \]高斯公式
设空间区域 \(V\) 由分片光滑的双侧封闭曲面 \(S\) 围成，若函数 \(P,Q,R\) 在 \(V\) 上连续且有一阶偏导，则
\[ \iiint_V(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz=\unicode{8751}_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy \]其中 \(S\) 取外侧，上式称为高斯公式，若取内侧则需要在右侧添负号
若 \(S\) 为封闭的简单曲面， \(l\) 为任何固定方向，则 \(\unicode{8751}_S\cos(n,l)dS=0\) 其中 \(n\) 为法向量
散度场
设 \(A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\) 为空间区域 \(V\) 上的向量函数，对于 \(V\) 上每一点 \((x,y,z)\) ，称函数 \(\begin{align}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\end{align}\) 为向量函数 \(A\) 在点 \(M(x,y,z)\) 处的散度，记作：
\[ \mathrm{div} A(x,y,z)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \]设 \(e_n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\) 为曲面的单位法向量，则 \(dS=e_ndS\) 称为曲面的面积元素，则高斯公式还可以写成如下形式
\[ \iiint_V\mathrm{div}AdV=\unicode{8751}A\cdot dS \]在 \(V\) 中任取一点 \(M_0\) ，对式中的三重积分应用中值定理，得
\[ \iiint_V\mathrm{div}AdV=\mathrm{div}A(M^\ast)\cdot\Delta V=\unicode{8751}_SA\cdot dS \]其中 \(M^\ast\) 为 \(V\) 中的某一点，令 \(V\) 收缩到 \(M_0\) ，则 \(M^\ast\) 也趋向点 \(M_0\) ，因此
\[ \mathrm{div}A(M_0)=\mathrm{div}A(M^*) =\lim_{V\rightarrow M_0}\frac{\unicode{8751}_S A\cdot dS}{\Delta V} \]若 \(\mathrm{div}A(M_0)>0\) 则该点为源，\(\mathrm{div}A(M_0)>0\) 则该点为汇，若 \(\mathrm{div}A=0\) 则该点为无源场
散度场推论
若在封闭曲面 \(S\) 所包围的区域中处处都有 \(\mathrm{div}A=0\) 则
\[ \unicode{8751}A\cdot dS=0 \]如果仅在区域 \(V\) 中某些点 \(\mathrm{div}A\neq 0\) 或 \(\mathrm{div}A\) 不存在，其他的点都有 \(\mathrm{div}A=0\) ，则通过包围这些点或子区域的 \(V\) 内任一封闭曲面积分都是相等的，即是一个常数，有
\[ \unicode{8751}_{S_1}A\cdot e_n dS=\unicode{8751}_{S_2}A\cdot e_ndS \]其中 \(S_1,S_2\) 是包围散度不为 \(0\) ，或不存在的点的任意两个封闭曲面，发现单位矢量向外
斯托克斯公式
设光滑曲面 \(S\) 的边界 \(L\) 是按段光滑的连续曲线，若函数 \(P,Q,R\) 在 \(S\)（连同 \(L\) ）上连续，且有一阶连续偏导数，则有
\[ \begin{align} &\iint_S(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz +(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx +(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy\\ =&\oint Pdx+Qdy+Rdz \end{align} \]其中 \(S\) 得侧面与 \(L\) 的方向按右手法则确定，称为斯托克斯公式，也可以写作
\[ \iint_S \begin{vmatrix} dydz&dzdx&dxdy\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix} =\oint_L Pdx+Qdy+Rdz \]空间曲线积分与路径无关性
设 \(\Omega\subset R^3\) 为空间单连通区域，若函数 \(P,Q,R\) 在 \(\Omega\) 上连续且有一阶连续偏导数，以下等价
- 对于 \(\Omega\) 内任一按段光滑的封闭曲线 \(L\) ，有 \(\begin{align}\oint_L Pdx+Qdy+Rdz=0\end{align}\)
- 对于 \(\Omega\) 内任一按段光滑的曲线 \(\Gamma\) ，曲线积分 \(\begin{align}\int_\Gamma Ldx+Qdy+Rdz\end{align}\) 与路线无关
- \(\begin{align}Pdx+Qdy+Rdz\end{align}\) 是 \(\Omega\) 内某一函数 \(u(x,y,z)\) 的全微分，\(du=Pdx+Qdy+Rdz\)
- \(\begin{align}\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}\end{align}\) 在 \(\Omega\) 内处处成立 \(\begin{align}u(x,y,z)=\int_{x_0}^xP(x,y_0,z_0)dx+\int_{y_0}^yQ(x,y,z_0)dy+\int_{z_0}^{z}R(x,y,z)dz+C\end{align}\)
旋度场
设 \(A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\) 为空间区域 \(V\) 上的向量函数，对 \(V\) 上一点 \(M(x,y,z)\) ，定义向量函数 \(\begin{align}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\end{align}\) ，称它为向量函数 \(A\) 在点 \(M(x,y,z)\) 处的旋度，记作 \(\mathrm{rot}A\)
\[ \mathrm{rot}\,A= \begin{vmatrix} i&j&k\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix} \]于是斯托克斯公式可以写成如下向量形式
\[ \iint_S\mathrm{rot}\,A\cdot dS=\oint_L A\cdot ds \]向量微分算子
定义向量微分算子 \(\begin{align}\nabla=\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+\frac{\partial}{\partial z}k\end{align}\) 则有
\[\mathrm{div}\,A=\nabla\cdot A,\mathrm{rot}\,A=\nabla\times A\]高斯公式和斯托克斯公式可以写成
\[ \begin{align} &\iiint_V\nabla\cdot AdV=\unicode{8751}_S A\cdot dS\\ &\iint_S(\nabla\times A)\cdot dS=\oint_\Gamma A\cdot ds \end{align} \]