数项级数的定义

设 \(u_1,u_2,\cdots,u_n,\cdots\) 是给定的数列，称 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots\end{aligned}\) 为数项级数，称 \(\begin{aligned}S_n=\sum_{i=1}^nu_i\end{aligned}\) 为部分和，则有 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n=\lim_{n\rightarrow\infty}S_n\end{aligned}\)

几何级数的敛散性

几何级数 \(\begin{aligned}a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}\quad(a\neq0)\end{aligned}\) 的敛散性满足：

• 当 \(|q|<1\) 时，几何级数收敛，且 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}=\frac{a}{1-q}\end{aligned}\)
• 当 \(|q|\geq1\) 时，几何级数发散，即 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}\mathrm{DNE}\end{aligned}\)

\(p\) 级数的敛散性

\(p\) 级数 \(\begin{aligned}1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+\frac{1}{n^p}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\end{aligned}\) 的敛散性满足：

• 当 \(p>1\) 时，级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\end{aligned}\) 收敛
• 当 \(p\leq1\) 时，级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\end{aligned}\) 发散

数项级数的基本性质

性质 1 若级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}u_n,\sum_{n=1}^{\infty}v_n\end{aligned}\) 均收敛，且 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}u_n=A,\sum_{n=1}^{\infty}v_n=B\end{aligned}\) ，则对任何常数 \(\alpha,\beta\) ，\(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(\alpha u_n+\beta v_n)\end{aligned}\) 收敛，且有 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(\alpha u_n+\beta v_n)=\alpha\sum_{n=1}^\infty u_n+\beta\sum_{n=1}^\infty v_n=\alpha A+\beta B\end{aligned}\)

性质 2 改变级数的有限项，或去掉前面有限项，或在级数前面加上有限项，都不影响级数的敛散性

性质 3 若级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 收敛，则在级数中任意添加括号得到的新级数也收敛，且其和不变

性质 4 若级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 收敛，则 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0\end{aligned}\)，逆命题不一定成立

性质 5 若 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n\mathrm{DNE}\end{aligned}\) 或 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=A\neq0\end{aligned}\) 则级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 发散

性质 6 柯西收敛准则：级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 收敛的充要条件是 \(\forall \varepsilon>0 \exists\) 正整数 \(N\) ，当 \(n>N\) 时，对一切正整数 \(p\) ，都有 \(|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}|<\varepsilon\)

正项级数的收敛性

正项级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 收敛的充要条件是：正项级数的部分和数列 \(\{S_n\}\) 有上界

正项级数的比较判别法

设 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n,\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}\) 均为正项级数，且 \(u_n\leq v_n(n=1,2,3,\cdots)\)

• 若 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}\) 收敛，则 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 收敛
• 若 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 发散，则 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}\) 发散 定理条件可弱化为 \(u_n\leq Cv_n(C>0)(n=k,k+1,\cdots)\)

比较判别法的极限形式

设 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n,\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}\) 均为正项级数，且 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\end{aligned}\)

• 当 \(0<l<+\infty\) 时，两个级数同敛散性
• 当 \(l=0\) 时，若 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}\) 收敛，则 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 收敛
• 当 \(l=+\infty\) 时，若 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty v_n\end{aligned}\) 发散，则 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 发散

比值判别法

设 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 是正项级数，并且 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\gamma\quad(或 +\infty)\end{aligned}\)

• 当 \(\gamma<1\) 时，级数收敛
• 当 \(\gamma>1(或 \gamma=+\infty)\) 时，级数发散
• 当 \(\gamma=1\) 时，本判别法失效 本判别法适合 \(u_{n+1}\) 与 \(u_n\) 有公因式且 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\end{aligned}\) 存在或等于 \(\infty\) 的情形

根值判别法

设 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 是正项级数，且 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\gamma\quad(或+\infty)\end{aligned}\)

• 当 \(\gamma<1\) 时，级数收敛
• 当 \(\gamma>1(或 \gamma=+\infty)\) 时，级数发散
• 当 \(\gamma=1\) 时，本判别法失效 本判别法适合 \(u_n\) 中含有表达式的 \(n\) 次方，且 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}\end{aligned}\) 存在或等于 \(\infty\) 的情形

积分判别法

设 \(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 上是非负且递减的连续函数，记 \(u_n=f(n),n=1,2,3,\cdots\) ,则级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 与反常积分 \(\begin{aligned}\int_1^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\end{aligned}\) 的敛散性相同

莱布尼茨定理

若交错级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n\end{aligned}\) 满足条件 \(u_1\geq u_2\geq u_3\geq\cdots\) 且 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0\end{aligned}\) 则 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n\end{aligned}\) 收敛，并且它的和 \(S\leq u_1\) 若交错级数满足莱布尼茨定理的条件，则以 \(S_n\) 作为级数和近似值时，误差 \(R_n\) 不超过 \(u_{n+1}\)

绝对收敛级数与条件收敛级数

如果 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty|u_n|\end{aligned}\) 收敛，则 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n \end{aligned}\) 也收敛 设 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 为一般级数，则

• 如果 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty|u_n|\end{aligned}\) 收敛，则称 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 绝对收敛
• 如果 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty|u_n|\end{aligned}\) 发散，但 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 收敛，则称 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 条件收敛 如果是用比值判别法或根值判别法判定 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty|u_n|\end{aligned}\) 发散，则 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 发散

绝对值的比值判别法

设 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{aligned}\) 为一般级数，若 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow}|\frac{u_{n+1}}{u_n}|=\gamma\quad(或+\infty)\end{aligned}\)

• 当 \(\gamma<1\) 时，级数绝对收敛
• 当 \(\gamma>1(或\gamma=+\infty)\) 时，级数发散
• 当 \(\gamma=1\) 时，本判别方法失效

绝对值的根值判别法

设 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n \end{aligned}\) 为一般级数，若 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|u_n|}=\gamma\quad(或\infty)\end{aligned}\)

• 当 \(\gamma<1\) 时，级数绝对收敛
• 当 \(\gamma>1(或\gamma=+\infty)\) 时，级数发散
• 当 \(\gamma=1\) 时，本判别方法失效

函数项级数

设 \(\{u_n(x)\}\) 是定义在数集 \(E\) 的一个函数列，表达式 \(u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots,x\in E\) 称为定义在 \(E\) 上的函数项级数，记为 \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\end{aligned}\) \(\begin{aligned}S_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x),x\in E,n=1,2,\cdots\end{aligned}\) 称为部分和函数列

• 若即 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n(x_0)\end{aligned}\) 存在，则称函数项级数在点 \(x_0\) 收敛，\(x_0\) 称为函数项级数的收敛点
• 若 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n(x_0)\end{aligned}\) 不存在，则称函数项级数在点 \(x_0\) 发散 函数项级数全体收敛点的集合称为函数项级数的收敛域，记为 \(D\) 函数项级数在 \(D\) 上的每一点 \(x\)，\(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n(x)\end{aligned}\) 存在，记为 \(S(x)\) ，称为函数项级数的和函数 称 \(R_n(x)=S(x)-S_n(x)=u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots\) 为函数项级数的余项 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0\end{aligned}\)

幂级数

\(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\end{aligned}\) 为关于 \(x-x_0\) 的幂级数，\(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 为关于 \(x\) 的幂级数

阿贝尔定理

• 如果 \(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 当 \(x=x_0(x_0\neq0)\) 时收敛，则 \(|x|<|x_0|\) 的一切 \(x\) 使该幂级数绝对收敛
• 如果 \(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 当 \(x=x_0\) 时发散，则 \(|x|>|x_0|\) 的一切 \(x\) 使该幂级数发散 幂级数的收敛域是以原点为中心的区间，若以 \(2R\) 表示区间长度，\(R\) 为收敛半径

柯西-阿达马公式

若幂级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) ,若 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=R\end{aligned}\) （\(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}=R\end{aligned}\)）

• 当 \(0<R<+\infty\) 时，级数\(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 在 \((-R,+R)\) 绝对收敛，\(|x|>R\) 发散
• 当 \(R=0\) 时，级数\(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 仅在 \(x=0\) 处收敛，\(x\neq0\) 时发散
• 当 \(R=+\infty\) 时，级数\(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内绝对收敛 在 \(x=\pm R\) 时，幂级数可能发散也可能收敛，需要具体验证 称 \(R\) 为幂级数的收敛半径， \((-R,R)\) 为幂级的收敛区间 对于求不是标准形式幂级数的收敛半径，可以直接利用绝对值的比值判别法或作变量替换

幂级数的性质

若幂级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 的收敛半径为 \(R(>0)\) ，则有：

• 级数在收敛域上的和函数 \(S(x)\) 是连续函数，\(S(x)\) 在 \((-R,R)\) 内也连续
• 幂级数在 \((-R,R)\) 内逐项可微，微分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径
• 幂级数在 \((-R,R)\) 内逐项可积，积分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径

即设 \(S(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots,|x|<R\) ，则

• \(S(x)\) 在 \(|x|<R\) 上连续
• \(\begin{aligned}S'(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots)\\&=a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}+\cdots,\quad|x|<R\end{aligned}\)
• \(\begin{aligned}\int_0^xS(x)\mathrm{d}x&=\int_0^x(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+\cdots)\mathrm{d}x\\&=a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+\cdots,\quad|x|<R\end{aligned}\)

设 \(S(x)\) 为幂级数在收敛区间 \((-R,R)\) 内的和函数，则在 \((-R,R)\) 内 \(S(x)\) 具有\(任何阶导数且可逐项求导，收敛半径仍为 \)R$

唯一性定理：设 \(S(x)\) 为幂级数在某邻域内的和函数，则幂级数的系数在 \(x=0\) 处的各阶导数具有关系：\(\begin{aligned}a_0=S(0),\quad a_n=\frac{S^{(n)}(0)}{n!},\quad n=1,2,\cdots\end{aligned}\)

• 若幂级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 在收敛区间的端点 \(x=R\) 处收敛，则 \(S(x)=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 在 \(x=R\) 处左连续，即 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow R^-}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nR^n\end{aligned}\) 或 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow R^-}S(x)=S(R)\end{aligned}\)
• 若幂级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 在收敛区间的端点 \(x=-R\) 处收敛，则 \(S(x)=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 在 \(x=-R\) 处右连续，即 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow -R^+}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n\end{aligned}\) 或 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow -R^+}S(x)=S(-R)\end{aligned}\)

幂级数的运算

若级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 与 \(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\end{aligned}\) 在 \(x=0\) 的某邻域相等，则它们的同次幂项的系数相等 设 \(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 和 \(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\end{aligned}\) 的收敛半径分别为 \(R_a\) 和 \(R_b\) ，则有

• \(\begin{aligned}\lambda\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty \lambda a_nx^n,\quad|x|<R_a\end{aligned}\)
• \(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\pm\sum_{n=0}^\infty b_nx^n=\sum_{n=0}^\infty (a_n\pm b_n)x^n,\quad|x|<R\end{aligned}\)
• \(\begin{aligned}(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n)(\sum_{n=0}^\infty b_nx^n)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n,\quad|x|<R\end{aligned}\)
• \(\begin{aligned}\frac{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}{\sum_{n=0}^\infty b_nx^n}=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n\Rightarrow(\sum_{n=0}^\infty b_nx^n)(\sum_{n=0}^\infty c_nx^n)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{aligned}\) 其中 \(\lambda\) 为常数，\(\begin{aligned}R=\min\{R_a,R_b\},\quad c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\end{aligned}\)

求幂级数的和函数常用方法

• 利用幂级数的线性运算法则
• 利用变量代换
• 通过逐项求导，再利用 \(\begin{aligned}S(x)=S(0)+\int_0^xS'(x)\mathrm{d}x\end{aligned}\)
• 通过逐项积分，再利用 \(S(x)=\begin{pmatrix}\begin{aligned}\int_0^xS(x)\mathrm{d}x\end{aligned}\end{pmatrix}'\)

函数展成幂级数

当 \(f(x)\) 在区间 \(|x-x_0|<R\) 内存在任意阶的导数，幂级数 \(\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\end{aligned}\) 的收敛条件为 \(|x-x_0|<R\) ，则在 \(|x-x_0|<R\) 内 \(f(x)=\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\end{aligned}\) 成立的充要条件是：在该区间内 \(\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}=0\end{aligned}\) \(\begin{aligned}f(0)+\frac{f'(0)}{1!}+\frac{f''(0)}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\end{aligned}\) 称为 \(f(x)\) 的麦克劳林级数

• \(\begin{aligned}\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n,\quad|x|<1\end{aligned}\)
• \(\begin{aligned}\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n,\quad|x|<1\end{aligned}\)
• \(f^{(n)}(x_0)=n!a_n,\quad n=0,1,2,\cdots\)

欧拉公式

当 \(x\) 为实数时，有 \(\begin{aligned}e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\end{aligned}\) ,推广到虚数，有 \(\begin{aligned}e^{\mathrm{i}x}&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\mathrm{i}x)^n}{n!}=1+\mathrm{i}x+\frac{(\mathrm{i}x)^2}{2!}+\frac{(\mathrm{i}x)^3}{3!}+\frac{(\mathrm{i}x)^4}{4!}+\cdots\\&=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots)+\mathrm{i}(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots)\end{aligned}\)

• \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x\)
• \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}=\cos x-\mathrm{i}\sin x\)
• \(\begin{aligned}\sin x=\frac{1}{2\mathrm{i}}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})\end{aligned}\)
• \(\begin{aligned}\cos x=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})\end{aligned}\)

函数的傅里叶展开

周期 \(T=2l\) 的函数 \(f(x)\) 可以表示成 \(\begin{aligned}\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l})\end{aligned}\) 在标准区间 \([-l,l]\) 上的三角解函数系：

\[\begin{aligned}1,\quad\cos\frac{\pi x}{l},\quad\sin\frac{\pi x}{l},\quad\cos\frac{2\pi x}{l},\quad\sin\frac{2\pi x}{l},\quad\cdots,\quad\cos\frac{n\pi x}{l},\quad\sin\frac{n\pi x}{l},\quad\dots\end{aligned}\]

\[\begin{cases}\begin{aligned}a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x\end{aligned},\quad n=0,1,2,\cdots\\\begin{aligned}b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x\end{aligned},\quad n=1,2,3,\cdots\end{cases}\]

当 \(f(x)\) 为奇函数，则 \(a_n=0\) , 称为傅里叶正弦级数 当 \(f(x)\) 为偶函数，则 \(b_n=0\) ，称为傅里叶余弦级数

狄利克雷定理

如果 \(f(x)\) 是以 \(T=2l\) 为周期的周期函数，且 \(f(x)\) 在 \([-l,l]\) 上逐段光滑，那么 \(f(x)\) 的傅里叶级数在任意点 \(x\) 处都收敛，并且收敛于 \(f(x)\) 在该点左右极限的平均值，即

\[\begin{aligned}\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l})&=S(x)\\&=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},x\in(-\infty,+\infty)\end{aligned}\]\[\begin{aligned}S(x)=\begin{cases}f(x)&当 x 是 f(x) 的连续点时;\\\begin{aligned}\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}\end{aligned}&当 x 是 f(x) 的第一类间断点时;\\\begin{aligned}\frac{f(-l+0)+f(l-0)}{2}\end{aligned}&当 x=\pm l\end{cases}\end{aligned}\]

对函数作周期延拓补充为一个周期函数

对函数延拓

• 奇延拓 \(F(x)=\begin{cases}f(x),&x\in(0,l]\\0,&x=0\\{-f(-x)},&x\in[-l,0)\end{cases}\)
• 偶延拓 \(F(x)=\begin{cases}f(x),&x\in[0,l]\\f(-x),&x\in[-l,0)\end{cases}\)