矢量的矢量积

\(a\times b=\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix}i-\begin{vmatrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{vmatrix}j+\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}k=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_2\end{vmatrix}\) 矢量积所得的矢量垂直于 \(a,b\) 构成的平面

矢量的混合积

\(a\cdot(b\times c)=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\)

三矢量的二重矢积

\(a\times(b\times c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c\)

平面的方程表示

任何平面都可用关于 \(x,y,z\) 的一次方程 \(Ax+By+Cz+D=0\) （其中 \(A,B,C\) 不全为零）来表示，而 \(Ax+By+Cz+D=0\) 表示一张以 \(f=Ai+Bj+Ck\) 为法矢量的平面

直线的方程表示

表示方式	方程
点向式方程	\(\begin{aligned}\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}\end{aligned}\)
参数式方程	\(\begin{cases}x=x_0+lt\\y=y_0+mt\\z=z_0+nt\end{cases}\)
两点式方程	\(\begin{aligned}\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\end{aligned}\)
一般式方程	\(\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}\)

直线一般式方程的方向矢量为 \(\begin{vmatrix}i&j&k\\A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\end{vmatrix}\)

直线的方向矢量为 \(v=li+mj+nk\)

过点 \(P\) 作与直线垂直的平面方程为 \(l(x-x_1)+m(y-y_1)+n(z-z_1)=0\)

平面束方程

记直线 \(L\) 的一般式方程为 \(L:\begin{cases}\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}\) 设 \(\lambda,\mu\) 为不同时为零的任意实数，则

\[\lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0\]

就表示以 \(L\) 为轴的平面束方程

曲面方程

在空间直角坐标系中，如果某个曲面上任意点的坐标都满足方程 \(F(x,y,z)=0\) ，而不在该曲面上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程 \(F(x,y,z)=0\) 称为该曲面方程

球面方程：\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2\)

柱面方程

一条动直线 \(L\) 沿一定曲线 \(\Gamma\) 平行移动所成的曲面称为柱面，并称动直线 \(L\) 为该柱面的母线，称定曲线 \(\Gamma\) 为该柱面的准线

以 \(Oxy\) 平面的曲线 \(\Gamma:F(x,y)\) 为准线，母线 \(L\) 的方向矢量为 \(v=ai+bj+ck,(c\neq 0)\) 的柱面方程为 \(\begin{aligned}F(x-\frac{a}{c}z,y-\frac{b}{c}z)=0\end{aligned}\)

由平行于 \(Oz\) 轴的直线沿曲线 \(\Gamma\) 平行移动所生成的曲面称为母线平行于 \(Oz\) 轴的柱面

锥面方程

过空间一定点 \(O\) 的动直线 \(L\) ，沿空间曲线 \(\Gamma\)（不过定点 \(O\) ）移动所生成的曲线称为锥面，其中动直线 \(L\) 称为该锥面的母线，曲线 \(\Gamma\) 称为该锥面的准线，\(O\) 称为该锥面的顶点 锥面的准线取平面曲线，以 \(z=h,(h\neq0)\) 平面上的曲线 \(\Gamma:F(x,y)=0\) 为准线，以原点为顶点的锥面方程为 \(\begin{aligned}F(\frac{h}{z}x,\frac{h}{z}y)=0\end{aligned}\)

旋转曲面方程

一曲线 \(\Gamma\) 绕一定直线 \(L\) 旋转而生成的曲面叫做旋转曲面，其中定直线 \(L\) 称为旋转曲面的轴 设 \(\Gamma\) 为 \(Oyz\) 平面上的曲线，其方程为 \(F(y,z)=0\) ，将该曲线绕 \(Oz\) 旋转，就得到一个以 \(Oz\) 轴为轴的旋转曲面，其方程为 \(F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0\)

空间曲线方程

任意空间曲线总可以看成两曲面的交线，设 \(F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0\) 表示两曲面的方程，它们相交，且交线是曲线 \(\Gamma\) ，则 \(\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}\) 空间曲线也可用参数方程来表示，其一般形式是\(\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\\z=\omega(t)\end{cases}\) 将 \(\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}\) 方程中消去一个变量，得到的就是对应轴的投影柱面

空间曲线在坐标平面上的投影

空间曲线 \(\Gamma\) 可以用方程组 \(\begin{cases}F_1(x,y,z)=0\\F_2(x,y,z)=0\end{cases}\) 表示，将方程组中消去一个变量，以 \(z\) 为例，得到方程 \(F(x,y)=0\) ，表示一个母线平行于 \(Oz\) 轴的柱面，所以该柱面必定包含曲线 \(\Gamma\) ,过曲线 \(\Gamma\) 上的一切点所作的平行于 \(Oz\) 轴的所有直线都在该柱面上，该柱面称为投影柱面，投影柱面与 \(Oxy\) 平面的交线叫空间曲线 \(\Gamma\) 在 \(Oxy\) 平面上的投影曲线，简称投影

二次曲面

曲面方程	曲面类型
\(\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a>0,b>0,c>0)\end{aligned}\)	椭球面
\(\begin{aligned}z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}(a>0,b>0)\end{aligned}\)	椭圆抛物面
\(\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\end{aligned}\)	二次锥面
\(\begin{aligned}z=-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\end{aligned}\)	双曲抛物面、马鞍面
\(\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\end{aligned}\)	单叶双曲面
\(\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\end{aligned}\)	双叶双曲面