平面点集

设 \(P(x_0,y_0)\in R^2\) ，把 \(U^\circ(P_0,\delta)=\{P(x,y):0<(x-x_0)^2+(y-y_0)^2<\delta^2\}\) 称为 \(P_0\) 的 \(\delta\) 空心邻域，任意一点 \(P_0\in R^2\) 与任意一个点集 \(E\in R^2\) 的关系有

• 内点，存在点 \(P_0\) 的某一邻域 \(U(P_0)\subset E\)
• 外点，存在点 \(P_0\) 的某一邻域 \(U(P_0)\cup E=\emptyset\)
• 边界点，在点 \(P_0\) 的任一邻域既含有属于 \(E\) 的点又含有不属于 \(E\) 的点

根据点集中所属点的特征，可以将点集分为

• 开集，平面点集 \(E\) 中的每一点都是 \(E\) 的内点，即 \(\mathrm{int} E=E\)
• 闭集，平面点集 \(E\) 的余集 \(R^2-E\) 是开集

若 \(E\) 中任意两点都可用一条完全含于 \(E\) 的有限条折线连接，则称具有连通性 若 \(E\) 既是开集又具有连通性，则称 \(E\) 为开区域

开区域连同其边界构成的点集称为闭区域 开区域、闭区域连同其一部分边界点组成的点集统称为区域 若存在常数 \(r\) 使 \(E\subset U(O,r)\) 则称 \(E\) 是有界集，否则称为无界集

二元函数的极限与连续

设二元函数 \(z=f(P)=f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某邻域 \(U^\circ(P_0)\) 内有意义，若存在常数 \(A\) ，任给 \(\varepsilon>0\) ，若存在 \(\delta>0\) 当 \(0<\rho(P,P_0)<\delta\) 时都有 \(|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<\varepsilon\) 则称 \(A\) 是函数 \(f(P)=f(x,y)\) 当点 \(P(x,y)\) 趋于点 \(P_0(x_0,y_0)\) 时的极限，记作

\[ \begin{aligned}\lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}f(x,y)=A\quad或\quad\lim_{P\rightarrow P_0}f(P)=A\end{aligned} \]

可用归结原理，当发现 \(P\) 按两个特殊路径趋于 \(P_0\) 时 \(f(P)\) 极限不一致则判断极限不存在

若累次极限 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\lim_{y\rightarrow y_0}f(x,y),\lim_{y\rightarrow y_0}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x,y)\end{aligned}\) 和二重极限 \(\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}x\rightarrow x_0\\y\rightarrow y_0\end{aligned}}f(x,y)\end{aligned}\) 都存在则三者相等 若 \(\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}\lim_{y\rightarrow y_0}f(x,y),\lim_{y\rightarrow y_0}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x,y)\end{aligned}\) 存在但不相等，则 \(\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}x\rightarrow x_0\\y\rightarrow y_0\end{aligned}}f(x,y)\end{aligned}\) 不存在

全增量与偏增量

若 \(f(P)=f(x,y)\) 在点 \(P(x_0,y_0)\) 的某邻域 \(U(P_0)\) 内有意义，且 \(\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}x\rightarrow x_0\\y\rightarrow y_0\end{aligned}}f(x,y)\end{aligned}=f(x_0,y_0)\) 则称函数 \(f(P)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 处连续，记函数的全增量为

\[ \Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) \]

记函数对 \(x\) 的偏增量为 \(\Delta_xz=f(x,y_0)-f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)\) 记函数对 \(y\) 的偏增量为 \(\Delta_yz=f(x_0,y)-f(x_0,y_0)=f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\) 设 \(f(P)=f(x,y)\) 在平面有界闭区间 \(G\) 上连续，则 \(f(P)\) 必在 \(G\) 上取到最大值、最小值以及中间的一切值，闭区域上连续的二元函数的图形称为连续曲面

偏导数

设函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某邻域内有定义，若极限

\[ \begin{aligned}\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta_x z}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}\end{aligned} \]

存在，则称该极限为函数 \(z=f(x,y)\) 在 \(P_0(x_0,y_0)\) 处关于 \(x\) 的偏导数，记为

\[\begin{aligned}f'_x(x_0,y_0)=\frac{d}{dx}f(x_0,y_0)\quad或\quad\frac{\partial z}{\partial x}\Big{|}_{\begin{aligned}x=x_0\\y=y_0\end{aligned}}\quad或\quad z'_x\Big{|}_{\begin{aligned}x=x_0\\y=y_0\end{aligned}}\quad或\quad\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\Big{|}_{\begin{aligned}x=x_0\\y=y_0\end{aligned}}\end{aligned}\]

求解 \(f'_x(x_0,y_0)\) 有三种方法：定义、求偏导再带入、带入已知量再求导

若函数 \(z=f(x,y)\) 的二阶偏导数 \(f''_{xy}(x,y),f''_{yx}(x,y)\) 都在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 处连续，则二者相等 对在一点存在直到 \(m\) 阶连续偏导数的 \(n\) 元函数，在该点的 \(k(\leq m)\) 阶混合偏导数与求偏导数的顺序无关

全微分

若二元函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处的全增量 \(\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\) 可以表示为 \(\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)(\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\rightarrow 0)\) 其中 \(A,B\) 与变量 \(x,y\) 的增量 \(\Delta x,\Delta y\) 无关，而仅与 \(x,y\) 有关，则称函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处可微，其中 \(A\Delta x+B\Delta y\) 称为函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处的全微分，记作 \(\mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y\)

若 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处可微，则 \(f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处连续，由 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处可微，有 \(\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)(\rho\rightarrow 0)\) 其中 \(A,B\) 是与 \(\Delta x,\Delta y\) 无关的常数， \(\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}\Delta z=\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}(A\Delta x+B\Delta y+o(\rho))=0\end{aligned}\) 所以 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处连续

若 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处可微，则 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处的两个偏导数 \(f_x'(x,y),f_y'(x,y)\) 都存在，且 \(A=f_x'(x,y),B=f_y'(x,y)\)，多元函数连续不一定可微

多元函数的可微性

偏导数即使都存在，原函数也不一定可微，验证多元函数不可微的方法：

• 若 \(f(x,y)\) 在 \((x,y)\) 处不连续，则 \(f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处不可微
• 若 \(f(x,y)\) 在 \((x,y)\) 处至少有一个偏导数不存在，则 \(f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处不可微
• 若 \(f(x,y)\) 在 \((x,y)\) 处的两个偏导数都存在，但极限 \(\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\rho}\end{aligned}\) 不存在或极限存在但不为零，则 \(f(x,y)\) 在 \((x,y)\) 处不可微

可微的充分条件：若函数 \(z=f(x,y)\) 的偏导数 \(f'_x(x,y),f'_y(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处连续，则函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处可微

函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处可微而两偏导数在该点不连续的情况

\[\begin{align}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}\end{align}\]

全增量公式：\(\Delta z=f_x'(x_0,y_0)\Delta x+f_y'(x_0,y_0)\Delta y+\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y\) 其中 \(\begin{aligned}\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}\varepsilon_1=\lim_{\begin{aligned}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{aligned}}\varepsilon_2=0\end{aligned}\) 近似估算：\(f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+f_x'(x,y)\Delta x+f_y'(x,y)\Delta y\)

复合函数的偏导数

若函数 \(u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处的偏导数都存在，\(z=f(u,v)\) 在点 \((u,v)=(\varphi(x,y),\psi(x,y))\) 处可微，则复合函数 \(z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]\) 在点 \((x,y)\) 处的偏导数存在，并有求偏导公式：

\[\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}\end{aligned}\]

特别地，若 \(z=f(u,v),u=\varphi(x),v=\psi(x)\) ，即 \(z\) 是一个自变量 \(x\) 的复合函数，则有 \(\begin{aligned}\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{dv}{dx}\end{aligned}\) ，这里 \(\begin{aligned}\frac{dz}{dx}\end{aligned}\) 称为全导数

复合函数的全微分

设 \(z=f(x,y),x,y\) 是自变量，且 \(z=f(x,y)\) 可微，则其全微分为 \(\begin{aligned}dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\end{aligned}\)

若设 \(z=f(x,y),x=x(s,t),y=y(s,t)\) 都具有连续的偏导数，则复合函数 \(z=f(x(s,t),y(s,t))\) 具有连续的偏导数 \(\begin{aligned}dz=\frac{\partial z}{\partial s}ds+\frac{\partial z}{\partial t}dt\end{aligned}\)

虽然 \(x,y\) 不是自变量，但全微分的形式与 \(x,y\) 是自变量时是一样的，称为全微分的一阶微分形式不变性，即若 \(z=z(u,v)\) 可微，且 \(dz=\varphi(u,v)du+\psi(u,v)dv\) ，则有

\[\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial u}=\varphi(u,v),\quad \frac{\partial z}{\partial v}=\psi(u,v)\end{aligned}\]

考虑多元函数 \(z=f(x,y)\) 的二阶微分，当 \(x\) 和 \(y\) 是自变量时，二阶微分为

\[\begin{aligned}d^2z=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(dy)^2\end{aligned}\]

当 \(x\) 和 \(y\) 是中间变量时，如 \(x=x(u,v),y=y(u,v)\) ，计算二阶微分为

\[\begin{aligned}d^2z=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(dy)^2+\frac{\partial z}{\partial x}d^2x+\frac{\partial z}{\partial y}d^2y\end{aligned}\]

其中的额外项是因为中间变量二阶微分不为 \(0\) 导致的 高阶微分在变量替换时会产生与中间变量二阶微分相关的额外项，导致形式改变

隐函数的偏导数

设 \(F(x,y,z)\) 在 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 \(F(x_0,y_0,z_0)=0,F'_x(x_0,y_0,z_0)\neq0\) ，则方程 \(F(x,y,z)=0\) 在 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 \(z=f(x,y)\) ,满足 \(z_0=f(x_0,y_0)\) 并有

\[\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x'}{F_z'},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y'}{F_z'}\end{aligned}\]

隐函数组的偏导数

设方程组 \(\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}\) 确定隐函数组 \(u=u(x,y),v=v(x,y)\) ，即 \(F(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv0\quad G(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv0\) ，有定理：

设 \(F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0\) 在点 \(P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)\) 的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 \(F(x_0,y_0,u_0,v_0)=G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0\) ，且偏导数所组成的函数行列式

\[J=\begin{aligned}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}\end{aligned}=\begin{vmatrix}\begin{aligned}\frac{\partial F}{\partial u}&\frac{\partial F}{\partial v}\\\frac{\partial G}{\partial u}&\frac{\partial G}{\partial v}\end{aligned}\end{vmatrix}\]

在点 \(P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)\) 不为零，则方程组 \(\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}\) 在点 \(P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)\) 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数组 \(u=(x,y),v=v(x,y)\) ，它们满足条件 \(u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0)\) ，并有

\[\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_x'&F_v'\\G_x'&G_v'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u'&F_v'\\G_u'&G_v'\end{vmatrix}}\quad\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_u'&F_x'\\G_u'&G_x'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u'&F_v'\\G_u'&G_v'\end{vmatrix}}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_y'&F_v'\\G_y'&G_v'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u'&F_v'\\G_u'&G_v'\end{vmatrix}}\quad\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)}=-\frac{\begin{vmatrix}F_u'&F_y'\\G_u'&G_y'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u'&F_v'\\G_u'&G_v'\end{vmatrix}}\end{aligned}\]

场的方向导数与梯度

根据场中的物理量的数量和矢量之分将场分为数量场和矢量场两类 格局场中的物理量是否随时间而变化将场分为稳定场和不稳定场 数量场可以用点 \(P(x,y,z)\) 的数量函数 \(u=u(P)\) 或 \(u=u(x,y,z),P(x,y,z)\in V\) 表示 矢量场可以用电 \(P(x,y,z)\) 的矢量函数 \(A=A(P)\) 或 \(A=A_x(P)i+A_y(P)j+A_z(P)k\) 表示

若函数 \(u\) 在点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 处可微，则 \(u\) 在点 \(P_0\) 处沿任一方向 \(l\) 的方向导数都存在，且

\[ \frac{\partial u}{\partial l}\Big{|}_{P_0}= \frac{\partial u}{\partial x}\Big{|}_{P_0}\cos\alpha+ \frac{\partial u}{\partial y}\Big{|}_{P_0}\cos\beta+ \frac{\partial u}{\partial z}\Big{|}_{P_0}\cos\gamma \]

函数 \(u(P)\) 在 \(P\) 处的梯度为矢量

\[ \mathrm{grad}\,u= \frac{\partial u}{\partial x}i+ \frac{\partial u}{\partial y}j+ \frac{\partial u}{\partial z}k \]

当 \(u\) 在点 \(P_0\) 处可微时，\(u\) 在点 \(P_0\) 的梯度方向是 \(u\) 值增长最快的方向

梯度运算的性质

设 \(u,v\) 可微，\(\alpha,\beta\) 为常数，则梯度运算具有如下性质 （1） \(\mathrm{grad}\,(\alpha u+\beta v)=\alpha\mathrm{grad}\, u+\beta\mathrm{grad}\, v\) （2） \(\mathrm{grad}\,(u\cdot v)=u\mathrm{grad}\, v+v\mathrm{grad}\, u\) （3） \(\mathrm{grad}\, f(u)=f'(u)\mathrm{grad}\,u\)

多元函数泰勒公式

若函数 \(f\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某邻域 \(U(P_0)\) 内有直到 \(n+1\) 阶连续偏导数，则对于 \(U(P_0)\) 内任一点 \((x_0+h,y_0+k)\)，存在 \(\theta\in(0,1)\) ，使得

\[ \begin{align} f(x_0+h,y_0+k)&=f(x_0,y_0)+ (h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f(x_0,y_0)\\ &+\frac{1}{2!} (h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^2f(x_0,y_0)\\ &+\cdots\\ &+\frac{1}{n!} (h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^nf(x_0,y_0)\\ &+\frac{1}{(n+1)!} (h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^{n+1} f(x_0+\theta h,y_0+\theta k) \end{align} \]

极值的必要条件

若函数 \(f\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 存在偏导数且在 \(P_0\) 处取极值，则有

\[ f_x'(x_0,y_0)=0,f_y'(x_0,y_0)=0 \]

点 \(P_0\) 满足上式则称为 \(f\) 的稳定点或驻点

极值的充分条件

设函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某邻域 \(U(P_0)\) 内连续，且有连续偏导数，如果 \(f_x'(x_0,y_0)=0,f_y'(x_0,y_0)=0\) ，设 \(A=f_{xx}''(x_0,y_0),B=f_{xy}''(x_0,y_0),C=f_{yy}''(x_0,y_0)\) ，则 （1）当 \(B^2-AC<0\) 时，\(f(x_0,y_0)\) 一定为极值，且 \(A>0\) 时为极小值，\(A<0\) 时为极大值 （2）当 \(B^2-AC>0\) 时，\(f(x_0,y_0)\) 不是极值 （3）当 \(B^2-AC=0\) 时，不能确定 \(f(x_0,y_0)\) 是否为极值

空间曲线的法平面

过点 \(P_0\) 且与该直线垂直的平面称为在 \(P_0\) 处的法平面，法平面方程为

\[ x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0 \]

空间曲面的切平面

过点 \(M_0\) 且与该平面相切的平面称为在 \(M_0\) 处的切平面，切平面方程为

\[ F_x'(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0 \]