二重积分的定义

设二元函数 \(f(P)=f(x,y)\) 在平面有界闭区域 \(\sigma\) 上有界，将 \(\sigma\) 分成 \(n\) 个小闭区域

\[ \Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\cdots,\Delta\sigma_n \]

在每个 \(\Delta\sigma_i\) 上任意取一点 \((\xi_i,\eta_i)\) ，如果当各个小闭区域的直径中的最大值趋于零时下式右侧极限存在，则称此极限为函数 \(f(x,y,z)\) 在 \(\sigma\) 上的二重积分

\[ \iint_\sigma f(x,y)d\sigma=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i \]

若 \(f(x,y)\) 在有界闭区域 \(\sigma\) 上连续，则 \(f(x,y)\) 在 \(\sigma\) 上可积

二重积分的性质

性质 1

\[ \iint_\sigma[f(x,y)\pm g(x,y)]d\sigma= \iint_\sigma f(x,y)d\sigma\pm \iint_\sigma g(x,y)d\sigma \]

性质 2

\[ \iint_\sigma kf(x,y)d\sigma=k\iint_\sigma f(x,y)d\sigma \]

性质 3

\[ \iint_\sigma1d\sigma=\iint_\sigma d\sigma=\sigma \]

性质 4 若 \(\sigma\) 可分解为两个不共内点的区域 \(\sigma_1,\sigma_2\) ，记作 \(\sigma=\sigma_1+\sigma_2\) ，则有

\[ \iint_\sigma f(x,y)d\sigma=\iint_{\sigma_1}f(x,y)d\sigma+\iint_{\sigma_2}f(x,y)d\sigma \]

性质 5 若 \(\begin{align}\iint_\sigma f(x,y)d\sigma\end{align}\) 存在，\(f(x,y)\geq0\) ，则 \(\begin{align}\iint_\sigma f(x,y)d\sigma\geq 0\end{align}\)

性质 6 若 \(\begin{align}f(x,y)\geq 0,f(x,y)\not\equiv0,(x,y)\in\sigma\end{align}\) 且 \(f(x,y)\) 连续，则\(\begin{align}\iint_\sigma f(x,y)d\sigma>0\end{align}\)

性质 7

\[ \Big{|}\iint_\sigma f(x,y)d\sigma\Big{|}\leq\iint_\sigma|f(x,y)|d\sigma \]

性质 8 若 \(f(x,y)\) 在有界闭区域 \(\sigma\) 上连续，则在 \(\sigma\) 上至少存在一点 \(P(x^*,y^*)\) 使得

\[ \iint_\sigma f(x,y)d\sigma=f(x^*,y^*)\sigma \]

直角坐标系二重积分

设积分区域为 \(x\) 型区域 \(\sigma=\{(x,y):\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x),a\leq x\leq b\}\)

\[ \begin{align} \iint_\sigma f(x,y)d\sigma&=\int_a^bA(x)dx =\int_a^b[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy]dx\\ &=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy \end{align} \]

极坐标系二重积分

通过坐标变换 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\) 可以简化一些二重积分的计算

\[ \begin{align} \iint_\sigma f(x,y)d\sigma& =\iint f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\\ &=\int_{\alpha}^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr \end{align} \]

一般曲线坐标二重积分

设有坐标变换函数组 \(\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\end{cases}\) 具有连续的偏导数，且有

\[ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} =r \]

则有二重积分的一般换元公式

\[ \iint_\sigma f(x,y)d\sigma =\iint_\sigma f(x(u,v),y(u,v)) \Big{|} \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \Big{|} dudv \]

三重积分的定义

设 \(f(x,y,z)\) 是空间有限闭区间 \(V\) 上的有界函数，将 \(V\) 任意分成 \(n\) 个小闭区域

\[ \Delta V_1,\Delta V_2,\cdots,\Delta V_n \]

在每个 \(\Delta V_i\) 上任意取一点 \((\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\) ，如果当各个小闭区域直径中的最大值 \(\lambda\) 趋于零时下式右侧极限存在，则称此极限为函数 \(f(x,y,z)\) 在 \(V\) 上的三重积分

\[ \iiint_Vf(x,y,z)dV=\lim_{\lambda\rightarrow0} \sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i \]

如果用平行于坐标面的平面划分 \(V\) ，可把 \(dV\) 记作 \(dxdydz\) ，有

\[ \iiint_Vf(x,y,z)dxdydz \]

其中 \(dxdydz\) 称为直角坐标系中的体积元素

直角坐标系三重积分

（1）投影法 积分区域 \(V\) 表示为 \(V=\{(x,y,z):z_1(x,y)\leq z\leq z_2(x,y),(x,y)\in\sigma_{xy}\}\)

\[ \begin{align} M&=\iiint_Vf(x,y,z)dV=\iint_{\sigma xy}\mu(x,y)d\sigma\\ &=\iint_{\sigma xy}[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz]d\sigma\\ &=\iint_{\sigma xy}\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz \end{align} \]

若 \(\sigma_{xy}\) 为 \(x\) 型区域，\(\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x),a\leq x\leq b\) ，则有

\[ \iiint_Vf(x,y,z)dV=\int_a^bdx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)dz \]

（2）截面法 设立体介于两平面 \(z=c,z=d\) 之间，过 \((0,0,z),z\in[c,d]\) 作垂直于 \(Oz\) 的平面与立体相截，截面区域为 \(D_z\) ，只要能求 \([c,d]\) 上任意一 \(z\) 处的线密度 \(\mu(z)\) 即可求解

\[ \begin{align} \iiint_Vf(x,y,z)dV&=\int_c^d\mu(z)dz =\int_c^d[\iint_{D_x}f(x,y,z)d\sigma]dz\\ &=\int_c^ddz\iint_{D_x}f(x,y,z)d\sigma \end{align} \]

若 \(D_x\) 为 \(x\) 型区域，\(y_1(x,z)\leq y\leq y_2(x,z),x_1(z)\leq x\leq x_2(z)\) ，则有

\[ \iiint_Vf(x,y,z)dV=\int_c^ddz\int_{x_1(z)}^{x_2(z)}dx\int_{y_1(x,z)}^{y_2(x,z)}f(x,y,z)dy \]

当 \(f(x,y,z)\) 仅是 \(z\) 的表达式，而 \(D_z\) 的面积又容易计算时，记 \(f(x,y,z)=g(z)\)

\[ \begin{align} \iiint_Vf(x,y,z)dV&=\iiint_Vg(z)dV=\int_c^ddz\iint_{D_z}g(z)dxdy\\ &=\int_c^dg(z)dz\int_{D_x}dxdy=\int_c^dg(z)S_{D_x}dz \end{align} \]

柱面坐标系三重积分

在计算三重积分 \(\begin{align}\iiint_Vf(x,y,z)dV\end{align}\) 时，若 \(f(x,y,z)\) 中含有 \(x^2+y^2\) ， \(V\) 在 \(Oxy\) 平面上投影区域是圆域或圆域的一部分时可以进行柱面坐标变换

\[ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z \]

\[ \begin{align} \iiint_Vf(x,y,z)dV &=\iiint_Vf(r\cos\theta,r\sin\theta,z)rdrd\theta dz\\ &=\iint_{\sigma xy}rdrd\theta\int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz\\ &=\int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}rdr \int_{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz \end{align} \]

球面坐标系三重积分

若三重积分被积函数中含有 \(x^2+y^2+z^2\) ，可对这一类积分进行球面坐标变换

\[ \begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=z \end{cases} \quad \begin{cases} z=\rho\cos\varphi\\ r=\rho\sin\varphi\\ \theta=\theta \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=\rho\sin\varphi\cos\theta\\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta\\ z=\rho\cos\varphi \end{cases} \]

\[ \iiint_Vf(x,y,z)dV=\iiint_Vf(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta \]

广义球坐标有 \(dV=abc\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta\)

三重积分的一般曲面坐标变换

求 \(\begin{align}\iiint_Vf(x,y,z)dV\end{align}\) ，其中 \(f(x,y,z)\) 连续，设变换：

\[ \begin{cases} x=x(u,v,w)\\ y=y(u,v,w)\\ z=z(u,v,w) \end{cases} \]

均具有连续的偏导数，且有：

\[ |J|= \begin{vmatrix} \begin{align} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \end{align} \end{vmatrix} \neq 0 \]

则对应该一般的曲面坐标变换，有：

\[ \iiint_Vf(x,y,z)dV= \iiint_Vf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \begin{vmatrix}\begin{align} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \end{align}\end{vmatrix} dudvdw \]

第一类曲线积分

设函数 \(f(P)\) 是定义 \(A,B\) 为端点的光滑曲线 \(\Gamma\) 上的有界函数，在 \(\Gamma\) 上任取点

\[ A=M_0,M_1,M_2,\cdots,M_n=B \]

将曲线分成 \(n\) 个部分，记弧 \(\overparen{M_{i-1}M_i}\) 的长度为 \(\Delta s_i\) ，并取点 \(P_i(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\)

\[ \sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta s_i \]

记 \(\lambda=\max\{\Delta s_i:1\leq i\leq n\}\) 当 \(\lambda\rightarrow0\) 时，此极限的值与曲线分法和取点无关，则称此极限值为函数 \(f(P)\) 沿曲线 \(\Gamma\) 的第一类积分曲线

\[ \int_\Gamma f(P)ds=\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta s_i \]

\[ \int_{\Gamma}f(x,y,z)ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}dt \]

\[ \begin{align} \int_\Gamma f(x,y)ds &=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt\\ &=\int_a^bf(x,\varphi(x))\sqrt{1+\varphi'^2(x)}dx\\ &=\int_c^df(\phi(y),y)\sqrt{1+\phi'^2(y)}dy\\ &=\int_\alpha^\beta f(r\cos\theta,r\sin\theta)\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta \end{align} \]

第一类曲面积分

设 \(f(P)=f(x,y,z)\) 是定义在有界光滑曲面 \(S\) 上的有界函数，用曲线网将 \(S\) 任意分成 \(n\) 部分 \(\Delta S_1,\Delta S_2,\cdots,\Delta S_n\) ，仍用其表示面积，在 \(\Delta S_i\) 上取点 \(P_i(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\)

\[ \sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta S_i \]

以 \(\lambda\) 表示 \(\Delta S_i\) 直径中的最大者，当 \(\lambda\rightarrow 0\) 时，若和式极限存在，且此极限值与曲面的分法以及 \(P_i\) 的取法无关，则称其为函数 \(f(P)\) 沿曲面 \(S\) 的第一类曲面积分

\[ \iint_Sf(P)dS=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta S_i \]

\[ \begin{align} \iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_{\sigma_{yz}}f(x(y,z),y,z) \sqrt{1+(\frac{\partial x}{\partial y})^2+ (\frac{\partial x}{\partial z})^2}d\sigma\\ \iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_{\sigma_{zx}}f(x,y(x,z),z) \sqrt{1+(\frac{\partial y}{\partial x})^2+ (\frac{\partial y}{\partial z})^2}d\sigma\\ \iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_{\sigma_{xy}}f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+ (\frac{\partial z}{\partial y})^2}d\sigma \end{align} \]

若曲面 \(S\) 由方程 \(F(x,y,z)=0\) 给出，且确定隐函数 \(z=z(x,y),(x,y)\in\sigma_{xy}\) ，并且有 \(\begin{align}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x'}{F_z'},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y'}{F_z'}\end{align}\) 连续，则有

\[ \iint_sf(x,y,z)dS=\iint_{\sigma_{xy}}f(x,y,z(x,y))\frac{\sqrt{F_x'^2+F_y'^2+F_z'^2}}{|F_z'|}d\sigma \]