1. 线性代数的几何解释

1.1 矩阵与线性变换

方阵 \(A,B\) ，表达式 \(B(AX)\) 表示在新基 \(B\) 下坐标为在新基 \(A\) 下坐标为 \(X\) 的坐标的坐标。
\((BA)X\) 表示 \(A\) 中的每一个列向量在新基 \(B\) 下对应的向量构成的一组基下坐标为 \(X\) 的坐标。
这表明矩阵的乘法是线性变换依次进行的等价线性变换。

对于非方阵的矩阵乘法，一个 \(m\times n\) 的矩阵：

• 若 \(m>n\) ，则表示了从低维倾斜到高维空间的线性变换；
• 若 \(m<n\) ，则表示了从高维压缩到低维空间的线性变换。

对于矩阵的相似 \(A=PBP^{-1}\) ，可以解读为：将基更换为 \(P\) 后再进行线性变换 \(B\) ，再更换为原来的基。

1.2 行列式

一个 \(2\times2\) 的方阵 \(A\) 的行列式反应了面积被放大了几倍，即原来在正交基下面积为 \(S\) 的图形在经过该方阵线性变换后，面积变为了 \(\det(A)\cdot S\)。

一个 \(3\times3\) 的方阵 \(A\) 的行列式反应了体积被放大了几倍，即原来在正交基下体积为 \(V\) 的图形在经过该方阵线性变换后，体积变为了 \(\det(A)\cdot V\)。

考虑 \(n\) 维空间中的一组标准正交基 \(\{i_1,i_2,\cdots,i_n\}\) ，空间中的任意一个向量都可以表示为 \(\vec{v}=k_1i_1+k_2i_2+\cdots+k_ni_n\) ，则对于 \(n\) 个向量 \(\{\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n}\}\) ，记它们围成的体积为 \(V(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})\) ，则体积函数满足以下性质：

• \(V(i_1,i_2,\cdots,i_n)=1\)
• \(V(\vec{v_1},\vec{v_1},\cdots,\vec{v_n})=0 \)
• \(\begin{aligned}V(c\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})=cV(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})\end{aligned}\)
• \(V(\vec{v_1}+\vec{u},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})=V(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})+V(\vec{u},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})\)
• \(V(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})=-V(\vec{v_2},\vec{v_1},\cdots,\vec{v_n})\)

根据以上几条性质展开 \(V(\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n})\) ，得到的结果与行列式的定义推导是一致的，由此还可以推导克拉默法则。

1.3 向量点乘

可以将 \(\alpha\cdot\beta\) 中的向量 \(\alpha\) 看作线性变换，设 \(\alpha=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}\) ，则有：

\[\begin{aligned}\alpha\cdot\beta&=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1&y_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\begin{bmatrix}u_x&u_y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}\\&=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\times\sqrt{x_2^2+y_2^2}\times\cos{\theta}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2\end{aligned}\]

其中 \(u_x,u_y\) 分别代表了 \(x,y\) 轴上的单位向量在经过线性变换后在向量 \(x\) 所在直线上的坐标。

1.4 特征值与特征向量

特征向量是在经过方阵对应的线性变换之后，方向保持不变的向量；特征值则是该向量在该方向上缩放的倍数。

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2. 行列式及其计算

2.1 行列式的定义与特殊形式

行列式的定义：

\(\begin{aligned}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}\end{aligned}\)

范德蒙德行列式：

\(\begin{aligned}\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_1^2&a_2^2&\cdots&a_n^2\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leq i\leq j\leq n}(a_j-a_i)\end{aligned}\)

2.2 行列式的基本性质

性质1 转置不改变行列式。

性质2 如果行列式中两行（或列）互换，行列式只改变符号。

性质3 行列式如果有两行（或列）对应元素相等，则行列式为 \(0\)。

性质4 以数 \(k\) 乘行列式中某一行（或列）中所有元素，等于用 \(k\) 去乘此行列式。

性质5 若行列式中某一行（或列）的元素全为 \(0\) ，则行列式为 \(0\)。

性质6 若行列式中有两行（或列）元素对应成比例，则行列式为 \(0\)。

性质7 行（或列）可拆分为多组后相加（分行/分列相加性）。

性质8 行列式的某一行（或列）元素加上另一行（或列）元素的 \(k\) 倍，行列式不变。

性质9 \(n\) 阶行列式 \(D=|a_{ij}|_n\) 等于它的任意一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

性质10 \(n\) 阶行列式 \(D=|a_{ij}|_n\) 中某一行（或列）的各元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于 \(0\)。

性质11（Laplace定理） 设 \(D\) 为 \(n\) 阶行列式，任取定其中 \(k\) 行（列），由这 \(k\) 行（列）构成的一切 \(k\) 阶子式 \(N_1,N_2,\cdots,N_t\) 与它们对应的代数余子式 \(A_1,A_2,\cdots,A_t\) 乘积之和等于 \(D\) ，即 \(D=N_1A_1+N_2A_2+\cdots+N_tA_t\)。重要推论如下：

\[\begin{vmatrix}A_{r\times r}&C_{r\times s}\\O&B_{s\times s}\end{vmatrix}=|A_{r\times r}||B_{s\times s}|\]

\[\begin{vmatrix}O&A_{r\times r}\\B_{s\times s}&C_{s\times r}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}C_{r\times s}&A_{r\times r}\\B_{s\times s}&O\end{vmatrix}=(-1)^{rs}|A_{r\times r}||B_{s\times s}|\]

性质12 两个 \(n\) 阶方阵乘积的行列式等于行列式的乘积，即 \(|AB|=|A||B|\)。证明方法：

\[|A||B|=\begin{vmatrix}A&O\\-E&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&AB\\-E&O\end{vmatrix}=|AB|\]

性质13 设 \(A_1,A_2,\cdots,A_m\) 都是 \(n\) 阶方阵，则 \(|A_1A_2\cdots A_m|=|A_1||A_2|\cdots|A_m|\)。

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3. 矩阵及其基本运算

3.1 矩阵的基本性质

矩阵转置：

\[\begin{aligned}&(A^\mathrm{T})^\mathrm{T}=A\qquad(A+B)^\mathrm{T}=A^\mathrm{T}+B^\mathrm{T}\qquad(kA)^\mathrm{T}=kA^\mathrm{T}\\&|A|=|A^\mathrm{T}|\qquad(AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T}A^\mathrm{T}\end{aligned}\]

对称与反对称矩阵：
对称矩阵的和、数量乘积、方幂仍为对称矩阵；反对称矩阵的和、数量乘积仍为反对称矩阵。
反对称矩阵的奇数次幂为反对称矩阵，偶数次幂为对称矩阵。
对于任意方阵 \(A\) ，\(A+A^\mathrm{T}\) 为对称矩阵，\(A-A^\mathrm{T}\) 为反对称矩阵。
奇数阶反对称矩阵的行列式为 \(0\)。

矩阵的迹（Trace）：
\(n\) 阶方阵 \(A=[a_{ij}]_{n\times n}\) 主对角线上元素之和称为矩阵 \(A\) 的迹，记为 \(\begin{aligned}\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^na_{ii}\end{aligned}\)。设 \(A,B\) 分别为 \(m\times n\) 及 \(n\times m\) 矩阵，则有 \(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\)。不存在 \(n\) 阶方阵 \(A,B\) 满足 \(AB-BA=E\)。

逆矩阵：
\(n\) 阶方阵 \(A\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(|A|\not=0\) ，且当 \(A\) 可逆时有 \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*\)。
相关运算法则：\((A^{-1})^{-1}=A\qquad(kA)^{-1}=\dfrac{1}{k}A^{-1}\qquad(A^\mathrm{T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm{T}}\qquad|A^{-1}|=|A|^{-1}\)

准对角矩阵：
\(A=\mathrm{diag}[A_1,A_2,\cdots,A_t]\)，有运算法则：
\(AB=\mathrm{diag}[A_1B_1,A_2B_2,\cdots,A_tB_t]\qquad|A|=|A_1||A_2|\cdots|A_t|\)
\(A^{-1}=\mathrm{diag}[A_1^{-1},A_2^{-1},\cdots,A_t^{-1}]\)

3.2 初等变换与初等矩阵

初等矩阵定义与逆：

• 互换：\(E(i,j)\qquad E^{-1}(i,j)=E(i,j)\)
• 倍乘：\(E(i(k))\qquad E^{-1}(i(k))=E(i(\dfrac{1}{k}))\)
• 倍加：\(E(i+j(k),j)\qquad E^{-1}(i+j(k),j)=E(i+j(-k),j)\)

对矩阵 \(A_{m\times n}\) 施行一次初等行变换相当于在左侧乘相应初等矩阵；施行一次列变换相当于在右侧乘相应初等矩阵。

初等变换的性质：

性质1 设 \(A_{m\times n}\) 是秩为 \(r\) 的矩阵，则存在一系列初等矩阵使得 \(P_s\cdots P_1AQ_1\cdots Q_t=\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}\)。

性质2 设 \(A_{m\times n}\) 秩为 \(r\) ，存在可逆矩阵 \(P,Q\) 使 \(PAQ=\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}\)。

性质3 \(A\) 是可逆矩阵 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 可以表示为初等矩阵的乘积 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 仅通过初等行（或列）变换即可化为单位矩阵。

性质4 若 \(A,B\) 均为可逆矩阵，则有 \(r(AC)=r(C),r(CB)=r(C),r(ACB)=r(C)\)。若 \(C\) 可逆而 \(A,B\) 不一定，则 \(r(ACB)\) 和 \(r(AB)\) 不一定相等。

3.3 矩阵的秩

性质1 \(r(A+B)\leq r(A)+r(B)\)。

性质2 \(r(A)+r(B)-n\leq r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)。

性质3 \(r(\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix})=r(\begin{bmatrix}O&A\\B&O\end{bmatrix})=r(A)+r(B)\)。

性质4 若 \(A\) 列满秩，则 \(r(AB)=r(B)\)；若 \(B\) 行满秩，则 \(r(AB)=r(A)\)。

性质5 \(r(AB)+r(BC)\leq r(B)+r(ABC)\)。

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4. 线性空间与欧氏空间

4.1 向量组与子空间

向量组的线性相关性：

性质1 一个向量组中有部分向量组线性相关，则整体必线性相关。

性质2 一个向量组线性无关，则其任何一个部分向量组必线性无关。

性质3 任何一个包含零向量的向量组必线性相关。

性质4 单个向量 \(\alpha\) 线性相关 \(\Leftrightarrow\) \(\alpha=\theta\)；\(\alpha\) 线性无关 \(\Leftrightarrow\) \(\alpha\not=\theta\)。

性质5 若两个向量组可以相互表示，则称等价；任意两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等。

平凡与非平凡子空间： 设 \(V\) 是线性空间，由零向量 \(\{\theta\}\) 及 \(V\) 自身组成的子空间称为平凡子空间，其它称为非平凡子空间（真子空间）。

生成子空间： 由 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\) 生成的子空间记为 \(L(\alpha_1,\cdots,\alpha_t)=\{k_1\alpha_1+\cdots+k_t\alpha_t|k_i\in P\}\)。

4.2 基变换与过渡矩阵

设 \((\mathrm{I}):\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n\) 与 \((\mathrm{II}):\varepsilon'_1,\cdots,\varepsilon'_n\) 是 \(n\) 维空间的两组基，矩阵 \(M\) 满足

\[[\varepsilon'_1,\cdots\varepsilon'_n]=[\varepsilon_1,\cdots\varepsilon_n]M\]

则 \(M\) 称为从基 \((\mathrm{I})\) 到基 \((\mathrm{II})\) 的过渡矩阵（理解为用 \((\mathrm{I})\) 的语言解读 \((\mathrm{II})\)）。

向量 \(\alpha\) 在两组基下坐标为 \(X_\mathrm{I}\) 和 \(X_\mathrm{II}\)，则坐标变换公式为 \(X_\mathrm{I}=MX_\mathrm{II}\) 或 \(X_\mathrm{II}=M^{-1}X_\mathrm{I}\)。

4.3 欧氏空间与内积

欧氏空间定义：

实线性空间 \(V\) 若定义了满足对称性、双线性性和正定性（\((\alpha,\alpha)\geq0\) 且等于 \(0\Leftrightarrow\alpha=\theta\)）的实数映射 \((\alpha,\beta)\)，则称为欧氏空间。欧氏空间中恒有柯西不等式：\(|(\alpha,\beta)|\leq||\alpha||\cdot||\beta||\)。

常用不等式形式：

代数形式：\((a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2\leq(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)\) 积分形式：\(\begin{aligned}\left|\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x\right|\leq\sqrt{\int_a^bf^2(x)\mathrm{d}x\int_a^bg^2(x)\mathrm{d}x}\end{aligned}\)

度量矩阵与格拉姆行列式：

取基 \(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n\) ，记 \((\varepsilon_i,\varepsilon_j)=a_{ij}\)，则实对称矩阵 \(A\) 称为该基的度量矩阵。 内积可表示为：\(\sum\sum x_iy_j(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=X^{\mathrm{T}}AY\)。 度量矩阵对应的行列式称为格拉姆（Gram）行列式，几何意义为基围成的平行体体积的平方。

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5. 特征值、特征向量与相似

5.1 特征值与特征向量的性质

性质1 \(\lambda_0\) 是 \(A\) 特征值的充要条件是 \(|\lambda_0E-A|=0\)。属于 \(\lambda_0\) 的特征向量全体是 \((\lambda_0E-A)X=O\) 的非零解。特征向量个数为 \(n-r(\lambda_0 E-A)\)。

性质2 方阵 \(A\) 属于不同特征值的特征向量必线性无关。

性质3 \(A\) 与对角矩阵相似的充要条件是 \(A\) 的特征值重根数之和为 \(n\)（或有 \(n\) 个线性无关的特征向量）。

性质4 特征多项式 \(f(\lambda)=|\lambda E-A|=\lambda^n-(a_{11}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|\)。由此得出：\(\mathrm{tr}(A)=\sum \lambda_i\) 以及 \(|A|=\prod \lambda_i\)。

性质5 若 \(\xi_0\) 是 \(A\) 关于 \(\lambda_0\) 的特征向量，则对于多项式 \(f(x)\)，\(f(\lambda_0)\) 是 \(f(A)\) 的特征值，\(\xi_0\) 仍为特征向量。

性质6 设 \(A\) 可逆，若 \(\lambda_0\) 是 \(A\) 特征值（必不为 \(0\)），\(\xi\) 是其特征向量，则 \(\lambda_0^{-1}\) 是 \(A^{-1}\) 的特征值，\(\xi\) 仍是 \(A^{-1}\) 的特征向量。

5.2 矩阵的相似与对角化

性质1 相似矩阵有相同的特征多项式：\(|\lambda E-A|=|\lambda E-B|\)。

性质2 相似矩阵有相同的迹和行列式。

性质3 若 \(A\) 与 \(B\) 相似，则 \(A^k\) 与 \(B^k\) 相似；多项式矩阵 \(f(A)\) 与 \(f(B)\) 相似。

性质4 若 \(A\) 可对角化即 \(P^{-1}AP=\mathrm{diag}[\lambda_1,\cdots,\lambda_n]\)，则 \(f(A)=P\mathrm{diag}[f(\lambda_1),\cdots,f(\lambda_n)]P^{-1}\)。

5.3 实对称矩阵的对角化

性质1 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

性质2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量一定互相正交。

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6. 二次型与矩阵的合同

6.1 二次型及其矩阵表示

性质1 数域 \(P\) 上任意一个二次型均可经非退化线性替换化为标准型 \(d_1y_1^2+\cdots+d_ny_n^2\)。

性质2 二次型 \(f=\sum\sum a_{ij}x_ix_j=X^\mathrm{T}AX\) 中，\(A\) 必为对称矩阵，称为该二次型的矩阵。

性质3 任意对称阵 \(A\) ，存在可逆矩阵 \(C\) 使 \(C^\mathrm{T}AC\) 为对角阵。

6.2 矩阵的合同

性质1 若存在可逆阵 \(C\) 使 \(C^{\mathrm{T}}AC=B\)，称 \(A,B\) 合同。

性质2 合同关系具有自反性、对称性、传递性。

性质3 若 \(A,B\) 合同，则 \(r(A)=r(B)\)，且对称性保持一致。

性质4 任意对称矩阵 \(A\) 均与某对角阵合同，称为合同标准型。

性质5 任意实二次型 \(X^{\mathrm{T}}AX\) 均可经正交变换 \(X=UY\) 化为 \(\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\)，其中 \(\lambda_i\) 为 \(A\) 特征值，\(U\) 为正交矩阵。

关系	定义	标准形	判别法	性质
等价	\(PAQ=B\)	\(\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}\)	\(r(A)=r(B)\)	\(r(A)=r(B)\)
同阶实对称矩阵合同	\(C^{\mathrm{T}}AC=B\)	\(\begin{bmatrix}E_p&O&O\\O&-E_q&O\\O&O&O\end{bmatrix}\)	秩相等且正负惯性指数相同	秩与惯性指数不变

6.3 二次型的规范性

二次型标准形中，系数不为 \(0\) 的平方项个数等于其矩阵的秩。

• 复数域：任何复二次型可化为规范形 \(z_1^2+\cdots+z_r^2\)，规范形唯一，完全由秩决定。
• 实数域：规范形为 \(z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_r^2\)。正数项数 \(p\) 为正惯性系数，负数项数 \(r-p\) 为负惯性系数。实二次型的秩、正负惯性指数在非退化实替换下保持不变。

6.4 正定二次型与正定矩阵

对于任意实向量 \(X\not=O\)，若 \(X^{\mathrm{T}}AX>0\) 则正定；\(<0\) 则负定；\(\geq0\) 半正定；\(\leq0\) 半负定。

性质1 \(f\) 负定（半负定） \(\Leftrightarrow\) \(-f\) 正定（半正定）。

性质2 \(f\) 正定 \(\Leftrightarrow\) 正惯性指数为 \(n\) \(\Leftrightarrow\) 规范形为 \(\sum y_i^2\) \(\Leftrightarrow\) \(A\) 特征值均 \(>0\) \(\Leftrightarrow\) 存在可逆阵 \(B\) 使 \(A=B^{\mathrm{T}}B\) \(\Leftrightarrow\) \(A\) 与单位矩阵 \(E\) 合同。

性质3 实二次型 \(f\) 正定 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 的所有顺序主子式均大于零。负定 \(\Leftrightarrow\) 奇数阶顺序主子式 \(<0\)，偶数阶 \(>0\) (即 \((-1)^k\Delta_k>0\))。

性质4 若 \(A\) 正定，则 \(kA(k>0)\)、\(A^{-1}\)、\(A^*\)、\(A^k(k\in \mathbb{N}^+)\)、\(C^\mathrm{T}AC\) (C可逆) 均为正定矩阵。

性质5 若 \(A,B\) 同阶正定，则 \(A+B\) 及分块对角阵 \(\mathrm{diag}[A,B]\) 均为正定矩阵。

性质6（半正定） 秩为 \(r\) 的二次型半正定 \(\Leftrightarrow\) 正惯性指数为 \(r\) \(\Leftrightarrow\) 特征值均 \(\geq 0\) \(\Leftrightarrow\) 存在实矩阵 \(C\) 使 \(A=C^\mathrm{T}C\) \(\Leftrightarrow\) 所有主子式非负。

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7. 解题技巧与易错点总结

7.1 特殊矩阵计算技巧

爪型行列式求法：当 \(a_i\not=0\) 时： \(\begin{aligned}\begin{vmatrix}a_0&b_1&b_2&\cdots&b_n\\c_1&a_1\\c_2&&a_2\\\vdots&&&\ddots\\c_n&&&&a_n\end{vmatrix}=(a_0-\sum_{i=1}^n\frac{b_ic_i}{a_i})\prod_{i=1}^na_i\end{aligned}\)

加边法：使 \(n\) 阶行列式变为 \(n+1\) 阶，通过增加的一行（列）消去其它行（列）的共同元素。

特殊矩阵的特征值与特征向量：

若 \(A\) 特征值为 \(\lambda\)，特征向量为 \(\xi\)：

矩阵形式	\(aA+bE\)	\(A^k\)	\(f(A)\)	\(A^{-1}\)	\(A^*\)	\(P^{-1}AP\)	\(A^\mathrm{T}\)
特征值	\(a\lambda+b\)	\(\lambda^k\)	\(f(\lambda)\)	\(\lambda^{-1}\)	\(A/\lambda\)	\(\lambda\)	\(\lambda\)
特征向量	\(\xi\)	\(\xi\)	\(\xi\)	\(\xi\)	\(\xi\)	\(P^{-1}\xi\)	视情况而定

若 \(A\) 为分块对角阵（或分块上/下三角阵），则 \(A\) 的特征值是主对角线上所有子方阵特征值的并集。

7.2 常见解题思路与易错点

易错点1（秩与零特征值）：

“若 \(A\) 的特征值中存在 \(k\) 个 \(0\) ,则 \(r(A)=n-k\)” 这个推论是错误的。 解释：特征值为 \(0\) 的解空间即为 \(A\) 的零空间。特征值 \(0\) 是 \(k\) 重代数根，并不代表其几何重数（即基础解系中包含的向量个数）也是 \(k\)。必须满足矩阵可对角化时才成立。

易错点2（合同的判定）：

只有对称矩阵才能通过“判断正负惯性系数是否相等”来判定是否合同。对于一般矩阵，只能严格使用定义判断。

特殊特征向量的规律：

若全 \(1\) 向量 \(\begin{bmatrix}1&1&\cdots&1\end{bmatrix}^{\mathrm{T}}\) 是矩阵 \(A\) 的特征向量，说明 \(A\) 的每一行元素之和都相等（即等于该特征值）。

正定性的证明思维：

正定性的根源在于特征值全部为正。若要抽象验证 \(A\) 为正定矩阵，通常直接利用定义验证 \(X^{\mathrm{T}}AX>0\)。
例如：已知 \(A,B\) 均正定且可交换（\(AB=BA\)），证明 \(AB\) 正定。
思路：设 \(AB\xi=\lambda\xi\) \(\Rightarrow\) 左乘 \(\xi^{\mathrm{T}}A^{-1}\) \(\Rightarrow\) 结合 \(AB=BA\) 得 \(\xi^{\mathrm{T}}B\xi=\lambda\xi^\mathrm{T}A^{-1}\xi\)。因 \(A^{-1}\) 和 \(B\) 正定，故左右二次型均为正，推得 \(\lambda>0\)。

特征值性质验证思维： 若题目要求证明两个不同矩阵具有某种一致的特征根性质，通常的破局点是证明这两个矩阵相似。

维度公式： 对于矩阵 \(A\in\mathrm{R}^{m\times n}\) 有 \(r(A)+\dim(\ker(A))=n\) ，其中 \(\ker(A)\) 表示零空间（即方程 \(AX=0\) 的解空间维度）。