Ch-3 刚体力学与流体力学
Ch-1 质点运动学
【注】与中学内容基本一致，略。
Ch-2 质点动力学
碰撞
对于一般碰撞，恢复系数 \(\begin{align}e=\frac{v_2'-v_1'}{v_1-v_2}\end{align}\) 与两球的质量和速度无关：
\[ \begin{align} v_1'=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}-e\frac{m_2(v_1-v_2)}{m_1+m_2}\\ v_2'=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}-e\frac{m_1(v_2-v_1)}{m_1+m_2} \end{align} \]【注】其余与中学内容基本一致，略。
Ch-3 刚体力学与流体力学
平动和转动
- 平动：刚体上任意两点的连线始终保持平行；
- 定轴转动：刚体中各个顶点都绕某一直线作圆周运动，转轴完全固定；
- 定点转定：刚体中各个顶点都绕某一直线作圆周运动，转轴一点固定。
定轴转动定律
力的大小与力臂的乘积称为力对转轴的力矩，用符号 \(M\) 来表示：
\[ M=Fd \]如果力不在垂直于转轴的平面内，可将力分解为与转轴垂直、平行的分力。
刚体定轴转动时，角加速度 \(\beta\) 与外力矩之和 \(M\) ，与转动惯量 \(J\) 成反比：
\[ M=J\beta \]转动惯量
刚体对转轴的转动惯量 \(J\) 等于刚体上各质点的质量 \(m_i\) 与各质点到转轴垂直距离二次方 \(r_i^2\) 乘积之和 ：
\[ J=\sum m_ir_i^2=\int r^2dm \]| 情形 | 细杆中心转动惯量 | 细杆一端转动惯量 | 圆柱体几何轴转动惯量 | 球体沿直径转动惯量 |
|---|---|---|---|---|
| 转动惯量 | \(\begin{align}\frac{1}{12}ml^2\end{align}\) | \(\begin{align}\frac{1}{3}ml^2\end{align}\) | \(\begin{align}\frac{1}{2}mR^2\end{align}\) | \(\begin{align}\frac{2}{5}mR^2\end{align}\) |
若刚体对转轴的转动惯量为 \(J\) ，则定义刚体对该轴的回转半径为 \(R_G\) 为：
\[ R_G=\sqrt{\frac{J}{m}} \]平行轴定理
刚体对任一转轴的转动惯量 \(J\) 等于对通过质心的平行轴的转动惯量 \(J_c\) 加上刚体质量 \(m\) 与两平行轴间距离二次方 \(h^2\) 的乘积，即：
\[ J=J_c+mh^2 \]垂直轴定理
若刚体薄板在 \(xy\) 平面内，对 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的转动惯量分别为 \(J_x,J_y\) ，则对 \(J_z\) 有：
\[ J_z=J_x+J_y \]定轴转动动能
刚体绕定轴转动的动能等于刚体的转动惯量与角速度二次方乘积的一半：
\[ \begin{align} E_k&=\sum\frac{1}{2}m_iv_i^2=\sum\frac{1}{2}m_i(\omega r_i)^2\\ &=\frac{1}{2}(\sum m_ir_i^2)\omega^2\\ &=\frac{1}{2}J\omega^2 \end{align} \]角动量定理
刚体对轴的角动量 \(L\) 等于转动惯量 \(J\) 与角速度 \(\omega\) 的乘积：
\[ L=J\omega \]刚体定轴转动时，对轴的外力矩之和等于对该轴的角动量随时间的变化率：
\[ M=\frac{dL}{dt}=\frac{d(J\omega)}{dt} \]定轴转动的质点系外力矩之和对转轴的冲量矩等于质点系对该转轴角动量的增量。
角动量守恒定律
若定轴转动质点系所受对转轴的外力矩之和为零，则质点系对该转轴角动量守恒。
刚体的平面运动
刚体平面运动的平动速度、加速度与基点的选择有关，而转动角速度、角加速度与基点选择无关：
\[ E_k=\frac{1}{2}mv_c^2+\frac{1}{2}J_c\omega^2 \]陀螺仪回转效应
旋进的快慢用旋进角速度 \(\Omega\) 描述，旋进角速度大小为：
\[ \Omega=\frac{M}{L\sin\varphi}=\frac{mgr}{J\omega} \]伯努利方程
理想流体定常流动过程中，在管道的任一截面处，流体的压力能、动能和势能之和是一个常量，称为伯努利方程：
\[ \begin{align} &pV+\frac{1}{2}mv^2+mgh=常量\\ &p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=常量 \end{align} \]理想流体在平面管道内定常流动时，截面积小处流速较大，压强较小。