狭义相对论基本原理

• 物理定律的表达形式在所有惯性系中都相同；
• 在所有惯性系中真空中的光速都相等。

洛伦兹变换

若惯性系 \(K'\) 相对于 \(K\) 系以速度 \(u\) 沿 \(x\) 轴的正方向作匀速直线运动，若事件在 \(k\) 系中为 \((x,y,z,t)\) ，在 \(k'\) 系中为 \((x',y',z',t')\) ，则有变换关系：

\[ \begin{aligned} &x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\\ &y'=y\\ &z'=z\\ &t'=\frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{aligned} \]

爱因斯坦速度变换

物体在 \(K\) 系中的速度分量为 \((v_x,v_y,v_z)\) ，在 \(K'\) 系中的速度分量为 \((v_x',v_y',v_z')\) ，则：

\[ \begin{align} &v_x'=\frac{v_x-u}{1-uv_x/c^2}\\ &v_y'=\frac{v_y\sqrt{1-u^2/c^2}}{1-uv_x/c^2}\\ &v_z'=\frac{v_z\sqrt{1-u^2/c^2}}{1-uv_x/c^2} \end{align} \]

对洛伦兹变换两边求微分后求微商记得上式。

长度收缩与时间膨胀

在相对杆静止的惯性系中，杆的长度最大，等于杆的固有长度 \(l_0\) ，在相对杆运动的惯性系中，杆沿运动方向的长度必小于固有长度，记相对运动速度为 \(u\) ，有：

\[ l=l_0\sqrt{1-u^2/c^2} \]

在某惯性系中，两个事件发生在同一地点，则在这个惯性系中测得这两个事件的时间间隔最短，为固有时间 \(\Delta t_0\) ，在其他惯性系中，这两个事件发生在不同地点，测得这两个事件的时间间隔大于固有时间，记相对运动速度为 \(u\) ，有：

\[ \Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \]

质量与速度的关系

物体的质量与自身的速度有关，质量与速度的关系为：

\[ m=\frac{m_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \]

其中 \(m_0\) 为静止质量，\(m\) 为物体以速度 \(v\) 运动时的质量。

狭义相对论动力学方程

\[ \begin{align} p&=mv=\frac{m_0v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ F&=\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}(mv)=\frac{d}{dt}(\frac{m_0v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}) \end{align} \]

相对论中的动能

物体的动能等于因运动而增加的质量 \(\Delta m=m-m_0\) 与光速二次方的乘积：

\[ E_k=mc^2-m_0c^2=m_0c^2(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1) \]

能动关系

在狭义相对论中能量与动量的关系为：

\[ E^2=p^2c^2+m_0^2c^4=(mc^2)^2 \]