纵波与横波

当机械波在某媒质中进行传播时，媒质中各质点只在平衡位置附近作振动。 质点振动方向与波的传播方向垂直的波称为 横波。 质点振动方向与波的传播方向平行的波称为 纵波。

一维波的一般表达式

假设函数 \(f\) 描述波的形状，波的传播速度为 \(u\) ，在坐标 \(x\) 处的波形可以表示为：

\[ y(x,0)=f(x),\quad y(x,t)=f(x-ut) \]

平面简谐波的波函数

\[ \begin{align} &y(x,t)=A\cos\omega(t-\frac{x}{u})\\ &v=-A\omega\sin\omega(t-\frac{x}{u})\\ \end{align} \]

一维波的波动微分方程

讨论平面简谐波满足的微分方程，令 \(\begin{align}y(x,t)=A\cos\omega(t-\frac{x}{u})\end{align}\) ，则有：

\[ \begin{cases} \begin{align} &\frac{\partial^2y}{\partial x^2}= -(\frac{\omega}{u})^2A\cos\omega(t-\frac{x}{u})\\ &\frac{\partial^2y}{\partial t^2}= -\omega^2A\cos\omega(t-\frac{x}{u}) \end{align} \end{cases} \Rightarrow \frac{\partial^2y}{\partial x^2}= \frac{1}{u^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2} \]

假设绳上张力为 \(F\) ，绳的线密度为 \(\mu\) ，在一小段绳上分析，有：

\[ \begin{align} \sum F_y &=F(\sin\theta_2-\sin\theta_1)\\ &=F(\tan\theta_2-\tan\theta_1)\\ &=F[(\frac{\partial y}{\partial x})_2-(\frac{\partial y}{\partial x})_1]\\ &\approx F\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\Delta x\\ \end{align} \]

\[ \begin{align} &\sum F_y=ma_y \Rightarrow F\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\Delta x =\mu\Delta x\frac{\partial^2y}{\partial t^2}\\ &\Rightarrow\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{\mu}{F}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \end{align} \]

由此可以得到绳上横波的传播速度为 \(\begin{align}u=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\end{align}\)。 在棒中纵波的传播速度为 \(\begin{align}u=\sqrt{\frac{Y}{\rho}}\end{align}\) 其中 \(Y\) 为杨氏模量，反应棒的弹性。 杨氏模量的定义为 \(\begin{align}Y=\frac{(\frac{F}{s})}{\frac{\Delta l}{l_0}}\end{align}\) ，其中 \(\begin{align}\frac{F}{s}\end{align}\) 表示应力， \(\begin{align}\frac{\Delta l}{l_0}\end{align}\) 表示应变。

波的能量

线元在 \(y\) 方向的振动速度为 \(\begin{align}v=\frac{\partial y}{\partial t}\end{align}\) ，其动能为：

\[ \Delta E_k=\frac{1}{2}\Delta mv^2=\frac{1}{2}\mu\Delta x(\frac{\partial y}{\partial t})^2 \]

线元的伸长量为 \(\delta l=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}-\Delta x\) ，在小位移下近似：

\[ \Delta E_p=F\delta l=F[\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}-\Delta x] \approx F\cdot\frac{1}{2}(\frac{\partial y}{\partial x})^2\Delta x \]

将 \(y\) 分别对 \(t\) 和 \(x\) 求一阶偏导，并代入 \(F=\mu u^2\)：

\[ E=\mu A^2\omega^2\sin^2\omega(t-\frac{x}{u})\Delta x \]

线能量密度的平均值为：

\[ \overline{(\frac{\Delta E}{\Delta x})}=\mu A^2\omega^2\overline{[\sin\omega(t-\frac{x}{u})]^2}=\frac{1}{2}\mu A^2\omega^2 \]

如果为三维空间，引入体密度 \(\rho\) ，则 \(\begin{align}\overline{\omega}=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2\end{align}\)。

能流密度

简谐波所传递的功率为：

\[ \begin{align} &P=u\mu A^2\omega^2\sin^2\omega(t-\frac{x}{u})\\ &\overline{P}=\frac{1}{2}u\mu A^2\omega^2 \end{align} \]

平均能流密度等于平均能量密度与波速的乘积：

\[ I=\overline{\omega}u=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2u \]

取离波源单位距离处的振幅为 \(A_0\) ,则距离波源任一 \(r\) 处的振幅为 \(\begin{align}A=\frac{A_0}{r}\end{align}\)。

叠加原理

任一处质点的振动是各个波单独在该点产生的振动的合成。

驻波

当两列振幅相等，沿相反方向传播的相干波叠加时将形成驻波，其表达式为：

\[ \begin{align} &y_1=A\cos(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x)\\ &y_2=A\cos(\omega t+\frac{2\pi}{\lambda}x)\\ &y=y_1+y_2=2A\cos\frac{2\pi}{\lambda}x\cos\omega t \end{align} \]

其中 \(x=k\frac{\lambda}{2}\) 处合振幅最大，这些点称为波腹，\(x=(2k+1)\frac{\lambda}{4}\) 处最小，称为波节 在相邻波节之间动能和势能的总和保持不变，为 \(\frac{1}{2}\mu A^2\omega^2\lambda\)。

反射波与入射波叠加的合振动为零，入射波在反射时有 \(\pi\) 的突变，称为半波损失。

对于两端固定的绳子，只有特定频率的驻波可以存在，即 \(\begin{align}\lambda_n=\frac{4L}{n},n=2,4,6,\cdots\end{align}\)。 对于一端可自由移动的绳子，同理，有 \(\begin{align}\lambda_n=\frac{4L}{n},n=1,3,5,\cdots\end{align}\)。

多普勒效应

（1）波源相对媒质静止，观察者以 \(v_R\) 向波源运动

若波长为 \(\lambda\) ，波速为 \(u\) ，相当于波以速度 \(u+v_R\) 向观察者移动则观察者接收到的波的频率为：

\[ \nu_R=\frac{u+v_R}{\lambda}=(\frac{u+v_R}{u})\nu_s \]

（2）观察者相对媒质静止，波源以 \(v_s\) 向观察者运动

波源的运动导致波的波长发生变化，可推导出以下关系：

\[ \begin{align} \lambda'&=\lambda-v_sT_s=(u-v_s)T_s\\ \nu_R&=\frac{u}{\lambda'}=\frac{u}{(u-v_s)T_s}=\frac{u}{u-v_s}\nu_s \end{align} \]

（3）波源和观察者在同一直线上同时运动

综合上述两种情况，可以得到：

\[ \nu_R=\frac{u+v_R}{u-v_s}\nu_s \]

（4）光波的多普勒效应

光源与接收器的相对运动速度为 \(u\) ，在同一条直线上接收器收到的频率为：

\[ \nu_R=\sqrt{\frac{c+u}{c-u}}\nu_s \]