电荷守恒定律

一个孤立系统的总电荷数保持不变，电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到物体的另一部分。

电荷的量子化

自然界任何可被观测到的电荷总是以一个基本电荷单元 \(e\) 的整数倍出现的，即 \(q=ne(n\in Z)\) 这个基本电荷单元 \(e\) 称为电荷量子。

电荷的运动不变性

一个电荷的电量与其运动状态无关，在不同参照系中对电荷进行测量，测得的量值都相同，电荷的这一性质称为电荷的运动不变性。

库仑定律

真空中两个静止的点电荷 \(q_1\) 与 \(q_2\) 之间的相互作用力的大小和 \(q_1,q_2\) 的乘积成正比，和它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着两点电荷的连线，同号电荷互斥，异号电荷相吸，库仑定律的数学表达式为 ：

\[ F_{21}=k\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}e_{12} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}e_{12} \]

其中有 \(k=8.99\times10^9 \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{C}^2,\varepsilon=8.85\times10^{-12}\mathrm{C}^2/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2)\) 该公式只适用于点电荷。

电力叠加原理

空间中任意两点之间的相互作用力遵循库仑定律，不因其它点电荷存在而改变：

\[ \begin{align} F_1&=F_{12}+F_{13}+\cdots+F_{1n}=\sum_{i=2}^{n}F_{1i}\\ &=\sum_{i=2}^n\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_i}{r_{1i}^2}e_{1i} \end{align} \]

上述叠加原理并非对任何情况都成立，特别是在极强电力作用时需要实验确定是否适用。

电场

任何电荷都在其周围空间激发电场，称为场源电荷。电荷相对于观察者是静止时，其周围的电场称为静电场，静电场对于场中的电荷有力的作用，称为静电场力或静电力。

【注】电场不仅常常伴随电荷存在，且可脱离电荷而独立存在。

电场强度

试验电荷所受到的作用力 \(F\) 与试验电荷的带电量 \(q_0\) 的比值定义为电场强度：

\[ E=\frac{F}{q_0}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}e_r\quad(后式为点电荷) \]

电场强度叠加原理

点电荷系所产生的电场在某点的场强等于各点电荷单独存在时所产生的电场在该点的场强的矢量和，称为电场强度叠加原理：

\[ E=E_1+E_2+\cdots+E_n=\sum_{i=1}^nE_i =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^n\frac{q_i}{r_i^2}e_i \]

连续分布电荷电场的场强

将带电体分割成许多微小的电荷元 \(\mathrm{d}q\) ，根据场强叠加原理，场强为：

\[ E=\int dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\frac{dq}{r^2}e_r \]

在具体计算中可以进行标准正交分解，求出标量积分后得到合场强：

\[ \begin{align} E_x=\int dE_x,&\quad E_y=\int dE_y,\quad E_z=\int dE_z\\ &E=E_xi+E_yj+E_zk \end{align} \]

电偶极子

等量异号电荷 \(+q\) 和 \(-q\) ，相距为 \(l\) ，当观察点到两电荷连线的距离 \(x\gg l\) 时，则这对点电荷称电偶极子，定义电偶极矩 \(p_e=ql\) ，则中垂线上一点 \(P\) 的场强满足：

\[ E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{ql}{[x^2+(l/2)^2]^{3/2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p_e}{x^3} \]

当距离很大时，电偶极子的场强衰减比点电荷要迅速得多。

电场线

在任何电场中，每一点的场强 \(E\) 都有确定的大小和方向，电场线的切线方向与场强方向一致，规定垂直于电场方向的面积元上通过电场线数量正比于场强大小：

\[ E=\frac{dN}{dS} \]

则电场线满足一下三条重要性质：

• 电场线起自正电荷，终止于负电荷，不会在无电荷处中断；
• 任意两条电场线不会相交；
• 静电场中的电场线不形成闭合曲线。

电通量

定义 \(d\Phi_e=E\cdot dS\) 为通过面积元的电通量，面积元的电通量即通过该面积元的电场线总数，求解曲面 \(S\) 的电通量需要先对曲面进行划分，经过叠加后得到电通量：

\[ \Phi_e=\int d\Phi_e=\int E\cos\theta dS=\int_sE\cdot dS \]

通过闭合曲面的通量可以写为：

\[ \Phi_e=\oint_sE\cos\theta dS=\oint E\cdot dS \]

如果通过闭合曲面的电通量为零，并不意味着一定没有电场线通过该曲面，更非曲面上的场强处处为零。

高斯定理

通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的所有电量的代数和除以 \(\varepsilon_0\)：

\[ \Phi_e=\oint_sE\cdot dS=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_iq_i \]

• 高斯定理说明了静电场是有源场，如果某处有电场线穿过而不中断，则通过该处闭合面的通量为零，说明此处无电荷；
• 高斯定理是从库仑定律和叠加原理推导出来的，对随时间变化的电场也成立。

特殊场强分布

球对称分布的电荷在球外产生的电场，与将全部电荷集中在球心时的场强分布相同。

均匀带电圆柱面外的电场，与将圆柱面上的电量集中在其中心轴线上的电场等效。

无限大均匀带电平面的电场是匀强电场。

分类	场强分布
均匀带电球面	\(E=\begin{cases}\begin{align}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\end{align},&r>R\\0,&r<R\end{cases}\)
均匀带电球体	\(E=\begin{cases}\begin{align}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2},\quad&r>R\\\frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 R^3},\quad&r<R\end{align}\end{cases}\)
无限长均匀带电圆柱面	\(E=\begin{cases}\begin{align}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\end{align},&r>R\\0,&r<R\end{cases}\)（\(\lambda\) 为电荷线密度）

静电场力的功

当试验电荷在静止点电荷电场中移动时，电场力所做的功仅与试验电荷电量的大小及其起点和终点的位置有关，而与电荷移动的路径无关：

\[ \begin{align} A_{ab}&=\int_a^bq_0E\cdot dl=q_0\int_a^b(E_1+E_2+\cdots+E_n)\cdot dl\\ &=A_{1ab}+A_{2ab}+\cdots+A_{nab}=\sum_{i=1}^n \frac{q_0q_i}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{r_{ia}}-\frac{1}{r_{ib}}) \end{align} \]

静电场力是保守力，静电场是保守场。

静电场的环路定理

在静电场中，电场强度沿任意闭合回路的线积分恒等于零：

\[ \oint_LE\cdot dl=0 \]

等式的左侧积分称为静电场的环流。

电势能

取离场源电荷无限远处电势能为零，则试验电荷 \(q_0\) 在电场中任一点 \(P\) 处的电势能为：

\[ W_P=A_{P\infty}=\int^{\infty}_P q_0E\cdot dl \]

试验电荷 \(q_0\) 在电场中 \(P\) 电的电势能 \(W_P\) 在数值上等于将 \(q_0\) 从 \(P\) 点移至无限远处电场力所做的功。如果场源电荷延伸到了无限远处，再选取无限远处的电势为零是不合理的。

电势

电势仅与进电场中给定点的位置有关，与电荷 \(q_0\) 无关：

\[ U_P=\frac{W_P}{q_0}=\int^{\infty}_PE\cdot dl \]

静电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷在该处所具有的电势能，也等于单位正电荷从该点经过任意路径迁移到无限远处电场力对它所作的功：

\[ U_{ab}=U_a-U_b=\int_a^\infty E\cdot dl-\int_b^\infty E\cdot dl =\int_a^bE\cdot dl \]

静电场中 \(a,b\) 两点的电势差，在数值上等于将单位正电荷从电场中 \(a\) 点移到 \(b\) 点时电场力所做的功。

均匀带电球面外任一场点的电势与所有电荷集中球心的点电荷产生的电势相同，球面内任一点的电势都与球面上的电势相等。

电势叠加原理

点电荷电场中的电势：

\[ U_P=\int^{\infty}_PE\cdot dl =\int^{\infty}_r\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}dr=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}=\frac{kq}{r} \]

点电荷系电场中的电势：

\[ \begin{align} U_P&=\int^{\infty}_P E\cdot dl =\int^{\infty}_P(E_1+E_2+\cdots+E_n)\cdot dl\\ &=U_{P1}+U_{P2}+\cdots+U_{Pn}\\ &=\sum_{i=1}^nU_{Pi}=\sum_{i=1}^n\frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i} \end{align} \]

在点电荷系电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的电势的代数和，称为静电场中的电势叠加原理。

等势面

在静电场中，一般来说电势值是逐点变化的，但总存在许多电势值相等的点，这些点可以连成曲面，称这些曲面为等势面，等势面和电场线有以下关系：

• 等势面与电场线处处正交；
• 等势面密的地方场强大，稀疏的地方场强小。

电势梯度

电场中某点场强在任一方向上的分量等于电势在此方向上变化率的负值，符号表示场强方向指向电势降低的方向：

\[ E_l=-\frac{dU}{dl} \]

设 \(n\) 为法线方向，定义一个矢量大小等于 \(\begin{align}\frac{dU}{dn}\end{align}\) 方向指向电势升高的方向，这个矢量称为电势梯度，用 \(\nabla U\) 或 \(\text{grad} U\) 表示 ：

\[ \nabla U=\frac{dU}{dn}e_n,\quad E=-\frac{dU}{dn}e_n=-\nabla U=-\text{grad} U \]

在电场中任一点的电场强度矢量，等于该点电势梯度矢量的 负值，符号表示场强与电势梯度方向相反，标准正交分解可得：

\[ E=-(\frac{\partial U}{\partial x}i+\frac{\partial U}{\partial y}j+\frac{\partial U}{\partial z}k) \]