Ch-1 概率论的基本概念
必然事件与不可能事件
必然事件 \(S\) 发生的概率为 \(100\%\) ，发生概率为 \(100\%\) 的不一定为必然事件
不可能事件 \(\emptyset\) 发生的概率为 \(0\%\) ，发生概率为 \(0\%\) 的不一定为不可能事件
在 \([0,1]\) 中随机取数，取到 \((0,1)\) 的概率为 \(100\%\) 但不是必然事件 在 \([0,1]\) 中随机取数，取到 \(0.5\) 的概率为 \(0\%\) 但不是不可能事件
容斥原理
\[ \begin{align} P(\bigcup_{j=1}^nA_j)=&\sum_{j=1}^nP(A_j)-\sum_{i<j}P(A_iA_j) +\sum_{i<j<k}P(A_iA_jA_k)-\cdots+\\ &(-1)^{n-1}P(A_1A_2\cdots A_n),n\geq1. \end{align} \]古典概型
对于某一个随机试验，如果满足以下两个条件：
- 样本空间中样本点数有限（有限性）
- 出现每一个样本点的概率相等（等可能性） 则称这个试验为等可能概型，又称古典概型
在等可能概型中，任一事件 \(A\) 的概率为 \(\begin{align}P(A)=\frac{A所包含的样本点数}{S中样本点总数}\end{align}\)
条件概率
如果 \(P(B)>0\) ，那么在 \(B\) 发生的条件下 \(B\) 发生的条件概率为
\[ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \]当 \(P(C)\neq 0\) 时，条件概率满足性质：
\[ P(A\cup B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C) \]乘法公式
由条件概率的定义可知 \(P(A)\neq 0,P(B)\neq 0\) 时，有乘法公式：
\[ P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B) \]一般地，当 \(P(A_1A_2\cdots A_{n-1})\neq 0(n\geq 3)\) 时，有
\[ P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1}) \]全概率公式
设 \(S\) 为某一随机试验的样本空间， \(B_1,B_2,\cdots,B_n\) 为该试验的一组事件，且满足
\[ \begin{align} &(1) B_iB_j=\emptyset,i,j=1,2,\cdots,n,i\neq j\\ &(2) B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_n=S \end{align} \]则称 \(B_1,B_2,\cdots,B_n\) 为 \(S\) 的一个划分，或称为 \(S\) 的一个完备事件组
设 \(S\) 为某样本空间，若 \(B_1,B_2,\cdots,B_n\) 是 \(S\) 的一个划分，且 \(P(B_j)>0,j=1,2,\cdots,n\) ，则对任一事件 \(A\) ，有全概率公式
\[ P(A)=\sum_{j=1}^nP(B_j)P(A|B_j) \]注：划分的条件可以弱化为 \(P(B_1\cup B_2\cup\dots\cup B_n)=1\)
贝叶斯公式
设 \(S\) 为某样本空间，若 \(B_1,B_2,\cdots,B_n\) 是 \(S\) 的一个划分，且 \(P(B_j)>0,j=1,2,\cdots,n\) ，则对任一事件 \(A\) ，\(P(A)\neq 0\) ，有概率的贝叶斯公式或逆概公式
\[ P(B_k|A)=\frac{P(B_kA)}{P(A)} =\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum_{j=1}^nP(B_j)P(A|B_j)} \]\(P(B_j)\) 的概率往往是已知假设或累积经验等，常称 \(P(B_j)\) 为先验概率，\(A\) 发生后 \(B_j\) 发生的概率进行修正，常称 \(P(B_j|A)\) 为后验概率
事件的独立性
设 \(A,B\) 为两随机事件，当 \(P(AB)=P(A)\cdot P(B)\) 时，称 \(A,B\) 相互独立 等价于条件概率等于无条件概率，即 \(P(B|A)=P(B)\)
当事件 \(A\) 与 \(B\) 相互独立时，\(A\) 与 \(\overline{B}\) ，\(\overline{A}\) 与 \(B\) ，\(\overline{A}\) 与 \(\overline{B}\) 均相互独立
设 \(A,B,C\) 为三个随机事件，称 \(A,B,C\) 两两独立，当且仅当满足
\[ \begin{cases} P(AB)=P(A)P(B),\\ P(AC)=P(A)P(C),\\ P(BC)=P(B)P(C) \end{cases} \]若同时还满足 \(P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\) 则称 \(A,B,C\) 相互独立
一般地，若 \(n\) 个事件 \(A_1,A_2,\cdots,A_n(n\geq 2)\) 相互独立，则对于任意 \(k\) 个事件，满足
\[ P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})=\prod_{j=1}^k P(A_{i_j}) \]试验的结果互不影响的一系列试验称为独立试验，若各个子试验条件相同，则称为重复试验