Ch-2 随机变量及概率分布
随机变量
设随机事件的 样本空间 为 \(S\) ，若 \(X=X(e)\) 为定义在样本空间 \(S\) 上的 实值单值函数，且 \(e\in S\) 则称 \(X=X(e)\) 为随机变量，常用大写英文字母表示
若随机变量的所有取值为 有限个 或 可列个 ，则称此变量为 离散型随机变量
概率分布律
设 \(X\) 为 离散型随机变量，若其可能取值为 \(x_1,x_2,\cdots,x_k,\cdots\) ，则称
\[ P\{X=x_k\}=p_k,\quad k=1,2,\cdots \]为 \(X\) 的 概率分布律 或 概率分布列，称为 \(X\) 的分布律或分布列
概率分布律满足以下两条性质：
\[ (1)\space p_k\geq0,k=1,2,\cdots;\quad(2)\sum_{k=1}^{+\infty}p_k=1 \]| 分布类型 | 概率分布律 | 记号 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 0-1分布 | \(P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}\) | \(X\sim 0-1(p)\) | 0-1 |
| 二项分布 | \(P\{X=k\}=\mathrm{C}_n^kp^k(1-p)^{n-k}\) | \(X\sim B(n,p)\) | Binomial |
| 泊松分布 | \(\begin{align}P\{X=k\}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\end{align}\) | \(X\sim P(\lambda)\) | Poisson |
| 超几何分布 | \(\begin{align}P\{X=k\}=\frac{\mathrm{C}_a^k\mathrm{C}_b^{n-k}}{\mathrm{C}_N^n}\end{align}\) | \(X\sim H(n,a,N)\) | Hypergeometric |
| 帕斯卡分布 负二项分布 | \(\begin{align}P\{X=k\}=\mathrm{C}_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r}\end{align}\) | \(X\sim NB(r,p)\) | Negative Binomial |
0-1 分布
若随机变量 \(X\) 的概率分布律为
\[ P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},\quad k=0,1 \]其中 \(0<p<1\) ，则称 \(X\) 服从参数为 \(p\) 的 0-1 分布，也称为 两点分布 并用记号 \(X\sim 0-1(p)\) 表示
二项分布
若随机变量 \(X\) 的概率分布律为
\[ P\{X=k\}=\mathrm{C}_n^kp^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,2,\cdots,n, \]其中 \(0<p<1,n\geq 1\) 则称 \(X\) 服从参数为 \((n,p)\) 的 二项分布 并用记号 \(X\sim B(n,p)\) 表示
设在 \(n\) 次独立重复试验中，每次试验都只有两个结果：\(A,\overline{A}\) ，且每次试验中 \(A\) 发生的概率不变，记 \(P(A)=p,0<p<1\) ，则称这一系列试验为 \(n\) 重伯努利试验
泊松分布
若随机变量 \(X\) 的概率分布律为
\[ P\{X=k\}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!},\quad k=0,1,2\cdots, \]其中 \(\lambda>0\) ，则称 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的 泊松分布 并用记号 \(X\sim P(\lambda)\) 表示
当 \(n\) 足够大， \(p\) 充分小（一般要求 \(p<0.1\) ），且 \(np\) 保持适当大小时，参数为 \((n,p)\) 的二项分布可以用参数为 \(\lambda=np\) 的泊松分布 近似描述
\[ \begin{align} P\{X=k\}&=\mathrm{C}_n^kp^k(1-p)^{n-k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\\ &=\frac{n!}{k!(n-k)!}(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}\\ &=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot\frac{\lambda^k}{k!}\cdot \frac{(1-\lambda/n)^n}{(1-\lambda/n)^k}\\ &\approx\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \end{align} \]超几何分布
若随机变量 \(X\) 的概率分布律为
\[ P\{X=k\}=\frac{\mathrm{C}_a^k\mathrm{C}_b^{n-k}}{\mathrm{C}_N^n},\quad k=l_1,l_1+1,\cdots,l_2,\quad a+b=N \]其中 \(l_1=\max\{0,n-b\},l_2=\min\{a,n\}\) ，则称 \(X\) 服从 超几何分布 并用记号 \(X\sim H(n,a,N)\) 表示
帕斯卡分布
若随机变量 \(X\) 的概率分布律为
\[ \begin{align} P\{X=k\}&=P\{\text{前}\space k-1\space\text{次中恰有}\space r-1\space \text{次}\space A\space 发生，且第\space k\space 次\space A\space 发生\}\\ &=\mathrm{C}_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r},\space k=r,r+1,r+2,\cdots \end{align} \]则称 \(X\) 服从参数为 \((r,p)\) 的 帕斯卡分布 ，也称为 负二项分布 并用记号 \(X\sim NB(r,p)\) 表示
概率分布函数
设 \(X\) 为一随机变量，\(x\) 为任意实数，函数
\[ F(x)=P\{X\leq x\} \]称为随机变量 \(X\) 的 概率分布函数，简称分布函数
连续型随机变量
对于随机变量 \(X\) ，其 分布函数 为 \(F(X)\) ，若存在一个 非负的实值函数 \(f(x),-\infty<x<+\infty\) ，则对于任意实数 \(x\) ，有：
\[ F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\mathrm{d}t \]则称 \(X\) 为 连续型随机变量 ，称 \(f(x)\) 为 概率密度函数，离散型随机变量 没有 密度函数
| 分布类型 | 密度函数 | 记号 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 均匀分布 | \(f(x)=\begin{cases}\begin{align}&\frac{1}{b-a},&x\in(a,b)\\&0,&x\not\in(a,b)\end{align}\end{cases}\) | \(X\sim U(a,b)\) | Uniform |
| 正态分布 | \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad -\infty<x<+\infty\) | \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) | Normal |
| 指数分布 | \(f(x)=\begin{cases}\begin{align}&\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x},&x>0\\&0,&x\leq0\end{align}\end{cases}\) | \(X\sim E(\lambda)\) | Exponential |
均匀分布
设随机变量 \(X\) 具有 密度函数
\[ f(x)=\begin{cases}\begin{align} &\frac{1}{b-a},&x\in(a,b)\\ &0,&x\not\in(a,b) \end{align}\end{cases} \]则称 \(X\) 在区间 \((a,b)\) 上 均匀分布，记为 \(X\sim U(a,b)\)
正态分布
设随机变量 \(X\) 具有 密度函数
\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty<x<+\infty \]其中 \(-\infty<\mu<+\infty,\sigma>0\) 则称 \(X\) 服从参数为 \((\mu,\sigma)\) 的 正态分布 简称 \(X\) 为 正态变量，记为 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)
正态变量 \(X\) 的密度函数 \(f(x)\) 具有以下性质：
\[ \begin{align} &(1)\space f(x)关于\space x=\mu\space 对称\\ &(2)\max_{-\infty<x<+\infty} f(x)=f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\\ &(3)\lim_{|x-\mu|\rightarrow+\infty}f(x)=0 \end{align} \]特别地，当 \(\mu=0,\sigma=1\) 时，此时的正态变量服从 标准正态分布
\[ \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},\quad -\infty<x<+\infty \]指数分布
设随机变量 \(X\) 具有 密度函数
\[ f(x)=\begin{cases}\begin{align} &\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x},&x>0\\ &0,&x\leq0 \end{align}\end{cases} \]其中 \(\lambda>0\) ，则称 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布，记为 \(X\sim E(\lambda)\)